Sixième 2015-2016

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La proportionnalité

I

Les tableaux de proportionnalité

A

Le fonctionnement

Proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on en multiplie une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.

Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire, \(\displaystyle{3 \times 1,02 = 3,06}\) €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.

Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.

La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci. En effet un garçon de 16 ans peut mesurer 1,80 m alors qu'une femme de 40 ans peut mesurer 1,60 m.

Règle de la multiplication :

Si 2 chaises coûtent 320€ alors 6 chaises coûtent 960€. (On multiplie les valeurs par 3).

Règle de l'addition :

Si 2 poteaux électriques mesurent 15 mètres alors 4 poteaux ( \(\displaystyle{2 + 2}\) poteaux) mesurent \(\displaystyle{15 + 15 = 30}\) mètres.

Passage à l'unité :

S'il faut 150 g de farine pour 6 personnes alors il faut \(\displaystyle{150\div6=25}\) g de farine pour une personne et donc \(\displaystyle{4\times25=100}\) g pour 4 personnes.

Tableau et coefficient de proportionnalité

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.

Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.

-

Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant : 1,02.

B

Les opérations

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.
-
Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.
-

Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.

-

\(\displaystyle{ ? = \left(2 \times 7,14\right) \div 2,04 = 7}\)

Pour retrouver la valeur inconnue on peut aussi diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici le coefficient de proportionnalité est : \(\displaystyle{2,04\div2=1,02}\). Donc \(\displaystyle{?=7,14\div1,02=7}\).

II

Les applications de la proportionnalité

A

Les pourcentages

Pourcentage

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

\(\displaystyle{\color{Blue}{6} \% = \dfrac{\color{Blue}{6}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{8,9} \% = \dfrac{\color{Blue}{8,9}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{31} \% = \dfrac{\color{Blue}{31}}{100}}\)

Si une boisson comporte 5% de sucre, cela signifie que dans 100 cL de cette boisson, il y a 5 cL de sucre.

Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\).

Une chemise coûte 82 €. Etienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de \(\displaystyle{10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0,1 \times 82 = 8,2}\) € sur la chemise.

Certains pourcentages sont à connaître :

  • Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).
  • Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).
  • Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).

10% de 156 vaut \(\displaystyle{156\div10=15,6}\).

25% de 240 vaut \(\displaystyle{240\div4=60}\).

50% de 10,2 vaut \(\displaystyle{10,2\div2=5,1}\).

B

Les échelles

Echelle

Une échelle permet de représenter un objet (ou un lieu) de grande taille sur une feuille, tout en respectant les proportions.

Par exemple, si une représentation est à l'échelle \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\ 500}}\), cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.