Troisième 2015-2016

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Les symétries, l'agrandissement et la réduction

I

Les symétries

A

La symétrie orthogonale

Symétrie orthogonale

Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie orthogonale d'axe \(\displaystyle{\Delta }\) si la droite \(\displaystyle{\Delta }\) est la médiatrice du segment [MM'].

-

On parle aussi de symétrie axiale ou de réflexion d'axe \(\displaystyle{\Delta }\).

La symétrie orthogonale conserve le parallélisme, l'alignement, l'orthogonalité, les longueurs, les angles et les aires.

-
B

La symétrie centrale

Symétrie centrale

Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie centrale de centre O si le point O est le milieu du segment [MM'].

-

La symétrie centrale conserve le parallélisme, l'alignement, l'orthogonalité, les longueurs, les angles et les aires.

-

L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.

-

Les droites (d) et (d') sont parallèles.

II

Triangles et droites parallèles

A

Les droites des milieux

Droite des milieux

Dans un triangle, toute droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Cette droite est appelée droite des milieux.

-

Le point I étant le milieu de [AB] la droite (IJ) étant parallèle à (BC), on en déduit que J est le milieu de [AC].

Droite des milieux : réciproque

Réciproquement, toute droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.

-

Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], la droite (MN) est donc parallèle à (BC).

Droite des milieux et longueurs

Soit un triangle ABC. On appelle M le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. On a :

\(\displaystyle{BC = 2MN}\)

-

Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], on en déduit que \(\displaystyle{BC=2\times MN}\).

Cette relation peut aussi s'écrire \(\displaystyle{MN =\dfrac{1}{2}BC}\), ou encore \(\displaystyle{\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{2}}\).

B

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N. D'après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}}\)

-

On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente. où les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On sait que ABC est un triangle avec \(\displaystyle{M\in\left[ AB \right]}\) et \(\displaystyle{N\in\left[ AC \right]}\). De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}}\)

D'où :

\(\displaystyle{\dfrac{3,3}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{3,5}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\dfrac{3,3}{AB}=\dfrac{2,5}{3,5}}\)

Puis avec le produit en croix :

\(\displaystyle{AB= \dfrac{3,3\times3,5}{2,5}=4,62}\) cm

La droite (MN) n'est pas nécessairement située "à l'intérieur" du triangle ABC, comme le montrent les différentes configurations suivantes.

-
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-

Réciproque du Théorème de Thalès

Réciproquement, dans un triangle ABC, si une droite coupe (AB) en M et (AC) en N, telle que \(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}}\) et que les points A, M, B et A, N, B sont dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

-

On veut démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

ABC est un triangle et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre.

D'une part :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{2,4}=\dfrac56}\)

D'autre part :

\(\displaystyle{\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{3}=\dfrac56}\)

Donc :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}}\)

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

C

L'agrandissement et la réduction

Proportionnalité des longueurs et des aires

Soit une configuration de Thalès dans un triangle ABC.

-

En posant :

\(\displaystyle{k =\dfrac{AM}{AB}}\)

Les relations suivantes sont alors vérifiées :

  • \(\displaystyle{AM = k \times AB}\)
  • \(\displaystyle{AN = k \times AC}\)
  • \(\displaystyle{MN = k \times BC}\)
  • \(\displaystyle{\mathcal{A}ire\left(AMN\right) = k^{2} \times \mathcal{A}ire\left(ABC\right)}\)

Agrandissement et réduction

  • Si \(\displaystyle{k \gt 1}\), le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
  • Si \(\displaystyle{k \lt 1}\), le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.
-

Les droites (AC) et (DE) étant parallèles, on passe du triangle DBE au triangle ABC par un agrandissement de facteur \(\displaystyle{\dfrac96 = 1,5}\).

Réciproquement, on passe du triangle ABC au triangle DBE par une réduction de facteur \(\displaystyle{\dfrac{6}{9}\approx0,67}\).

La droite des milieux correspond à une configuration de Thalès avec \(\displaystyle{k =\dfrac{1}{2}}\).

Si l'on passe d'une figure 1 à une figure 2 par un agrandissement de facteur \(\displaystyle{k}\), on passe de la figure 2 à la figure 1 par une réduction de facteur \(\displaystyle{\dfrac{1}{k}}\).