Troisième 2015-2016
Kartable
Troisième 2015-2016

Les symétries, l'agrandissement et la réduction

I

Les symétries

A

La symétrie orthogonale

Symétrie orthogonale

Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie orthogonale d'axe Δ si la droite Δ est la médiatrice du segment [MM'].

-

On parle aussi de symétrie axiale ou de réflexion d'axe Δ.

La symétrie orthogonale conserve le parallélisme, l'alignement, l'orthogonalité, les longueurs, les angles et les aires.

-
B

La symétrie centrale

Symétrie centrale

Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie centrale de centre O si le point O est le milieu du segment [MM'].

-

La symétrie centrale conserve le parallélisme, l'alignement, l'orthogonalité, les longueurs, les angles et les aires.

-

L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.

-

Les droites (d) et (d') sont parallèles.

II

Triangles et droites parallèles

A

Les droites des milieux

Droite des milieux

Dans un triangle, toute droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Cette droite est appelée droite des milieux.

-

Le point I étant le milieu de [AB] la droite (IJ) étant parallèle à (BC), on en déduit que J est le milieu de [AC].

Droite des milieux : réciproque

Réciproquement, toute droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.

-

Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], la droite (MN) est donc parallèle à (BC).

Droite des milieux et longueurs

Soit un triangle ABC. On appelle M le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. On a :

BC=2MN

-

Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], on en déduit que BC=2×MN.

Cette relation peut aussi s'écrire MN=12BC, ou encore MNBC=12.

B

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N. D'après le théorème de Thalès :

AMAB=ANAC=MNBC

-

On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente. où les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On sait que ABC est un triangle avec M[AB] et N[AC]. De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :

AMAB=ANAC=MNBC

D'où :

3,3AB=ANAC=2,53,5

On en déduit que :

3,3AB=2,53,5

Puis avec le produit en croix :

AB=3,3×3,52,5=4,62 cm

La droite (MN) n'est pas nécessairement située "à l'intérieur" du triangle ABC, comme le montrent les différentes configurations suivantes.

-
-
-

Réciproque du Théorème de Thalès

Réciproquement, dans un triangle ABC, si une droite coupe (AB) en M et (AC) en N, telle que AMAB=ANAC et que les points A, M, B et A, N, B sont dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

-

On veut démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

ABC est un triangle et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre.

D'une part :

AMAB=22,4=56

D'autre part :

ANAC=2,53=56

Donc :

AMAB=ANAC

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

C

L'agrandissement et la réduction

Proportionnalité des longueurs et des aires

Soit une configuration de Thalès dans un triangle ABC.

-

En posant :

k=AMAB

Les relations suivantes sont alors vérifiées :

  • AM=k×AB
  • AN=k×AC
  • MN=k×BC
  • ire(AMN)=k2×ire(ABC)

Agrandissement et réduction

  • Si k>1, le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
  • Si k<1, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.
-

Les droites (AC) et (DE) étant parallèles, on passe du triangle DBE au triangle ABC par un agrandissement de facteur 96=1,5.

Réciproquement, on passe du triangle ABC au triangle DBE par une réduction de facteur 690,67.

La droite des milieux correspond à une configuration de Thalès avec k=12.

Si l'on passe d'une figure 1 à une figure 2 par un agrandissement de facteur k, on passe de la figure 2 à la figure 1 par une réduction de facteur 1k.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.