Quatrième 2016-2017

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Le calcul littéral

I

Réduire une expression littérale

Expression littérale

Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres, ces lettres désignant des nombres qui peuvent varier. Ces lettres s'appellent variables.

L'expression A est une expression littérale :

\(\displaystyle{A=4a+2b-7}\)

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe "multiplier" lorsqu'il est placé :

  • Devant ou derrière une lettre
  • Devant ou derrière une parenthèse
  • Entre deux lettres ou deux parenthèses

On peut écrire l'expression littérale suivante :

\(\displaystyle{A=4\left(a+2\right)-3b+5\times7}\)

Pour simplifier un produit de facteurs, on peut modifier l'ordre des facteurs.

\(\displaystyle{A=20\times a\times 12}\)

\(\displaystyle{A=20\times 12\times a}\)

\(\displaystyle{A=240\times a}\)

\(\displaystyle{A=240 a}\)

Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale revient à l'écrire le plus simplement avec le moins de termes possible. On regroupe les termes de l'expression du même type ensemble lorsque l'expression est composée d'additions et/ou de soustractions de termes.

\(\displaystyle{A = 2a + 4a^2 - a + a^2}\)

Pour réduire l'expression A, on regroupe les termes en a et les termes en \(\displaystyle{a^2}\) entre eux :

\(\displaystyle{A = \left(2a - a\right) + \left(4a^2 + a^2\right) = a + 5a^2}\)

Ordonner une expression

Ordonner une expression composée d'additions et/ou de soustractions de termes, c'est écrire les termes dans l'ordre décroissant des exposants des variables apparaissant dans l'expression.

On considère l'expression littérale suivante :

\(\displaystyle{A=12+5x^2-3x+x^3}\)

Ordonner cette expression, c'est l'écrire sous la forme suivante :

\(\displaystyle{A=x^3+5x^2-3x+12}\)

Soustraire une expression revient à ajouter l'opposé de chacun des termes composant cette expression.

Si \(\displaystyle{B=2x^2+x-5}\) et \(\displaystyle{C=2x-x^2-4}\), on a :

\(\displaystyle{B-C = 2x^2 + x - 5 - \left(2x - x^2 -4\right)}\)

\(\displaystyle{B-C = = 2x^2 + x - 5 \color{Red}{+} \left(\color{Red}{-}2x \color{Red}{+} x^2 \color{Red}{+} 4\right)}\)

\(\displaystyle{B-C = 2x^2 + x - 5 - 2x + x^2 + 4}\)

\(\displaystyle{B-C = = \left(2x^2 + x^2\right) + \left(x - 2x\right) + \left(-5 + 4\right)}\)

\(\displaystyle{B-C = 3x^2 - x - 1}\)

Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe "−" on réécrit tous les termes dans la parenthèse en changeant leurs signes.

II

La distributivité

A

La simple distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. Pour tous nombres a, b et c :

\(\displaystyle{a \left(b+c\right) = ab + ac}\)

\(\displaystyle{a \left(b-c\right) = ab - ac}\)

\(\displaystyle{A = 5\left(2 + x\right)=5\times2+5x=10+5x}\)

\(\displaystyle{B=7\left(y-5\right)=7y-7\times5=7y-35}\)

Développer une expression

Développer une expression signifie passer d'un produit de facteurs à une somme de termes.

\(\displaystyle{a \left(b+c\right) \xrightarrow{\text{développement}} ab + ac}\)

Les formules précédentes permettent de développer une expression en passant de gauche à droite.

Factoriser une expression

Factoriser une expression signifie passer d'une somme de termes à un produit de facteurs.

\(\displaystyle{ab + ac \xrightarrow{\text{factorisation}} a \left(b+c\right)}\)

\(\displaystyle{C = 6b + 12=6b+6\times2=6\left(b+2\right)}\)

Les formules de la première propriété permettent de factoriser une expression en passant de droite à gauche.

B

La double distributivité

Pour développer le produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde et on ajoute tous les produits. Autrement dit, pour tous nombres a , b, c et d :

-
\(\displaystyle{C = \left(4 - x\right) \left(2x + 3\right)}\)

\(\displaystyle{C = \left(4 + \left(-x\right)\right) \left(2x + 3\right)}\)

\(\displaystyle{C = 4 \times 2x + 4 \times 3 + \left(-x\right) \times 2x + \left(-x\right) \times 3}\)

\(\displaystyle{C = 8x + 12 + \left(-2x^2\right) + \left(-3x\right)}\)

\(\displaystyle{C = 8x + 12 - 2x^2 - 3x}\)

\(\displaystyle{C = - 2x^2 + \left(8x - 3x\right) + 12}\)

\(\displaystyle{C = - 2x^2 + 5x + 12}\)

La formule précédente permet de développer une expression en passant de gauche à droite.