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Les statistiques

I

Les séries statistiques

A

Les valeurs et les effectifs

Population

La population est l'ensemble des individus que l'on étudie.

L'ensemble des garçons de la classe est une population.

Caractère

Le caractère représente une des caractéristiques de la population que l'on étudie. Le caractère peut prendre plusieurs valeurs (chiffrées ou non).

Dans l'ensemble des garçons de la classe on peut s'intéresser au sport choisi : c'est un caractère. Plusieurs valeurs sont possibles : foot, basket, tennis, volley.

Série statistique

Une série statistique est la suite des valeurs que prend un caractère au sein d'une population.

Voici le sport choisi par les douze garçons d'une classe, qui avaient le choix entre le foot, le basket, le tennis et le volley :

tennis − tennis − basket − foot − basket − foot − volley − foot − foot − tennis − basket − volley

Il s'agit de la série statistique décrivant la valeur de la caractéristique "le sport choisi" au sein du groupe "les garçons de la classe".

Effectif d'une valeur

L'effectif d'une valeur d'une série statistique est le nombre d'apparitions de cette valeur dans la série.

On présente souvent les résultats d'une étude statistique sous forme de tableau, dont la première ligne recense les différentes valeurs de la série, et la seconde ligne affiche l'effectif correspondant à chaque valeur.

La série statistique précédente peut être présentée par le tableau suivant :

Sport choisi Foot Basket Tennis Volley
Nombre de garçons 4 3 3 2

Effectif total

La somme des effectifs d'une série statistique est égale à l'effectif total.

Dans la série précédente, l'effectif total, qui correspond au nombre de garçons de la classe, est égal à :

\(\displaystyle{ 4 + 3 + 3 + 2 = 12}\)

B

Série donnée par classes de même amplitude

On peut regrouper les valeurs de certaines séries statistiques en tranches de même écart. Ces tranches sont appelées des classes, et on peut alors calculer l'effectif de chaque classe.

On peut par exemple regrouper les employés d'une entreprise par classe de taille en cm.

Taille (cm) 150 à 155 155 à 160 160 à 165 165 à 170 170 à 175 175 à 180
Effectif 3 10 11 18 13 8
C

Les fréquences

Fréquence

La fréquence d'une valeur d'une série statistique est égale à :

\(\displaystyle{f = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}}\)

On considère de nouveau la série statistique donnant le sport choisi par les 12 garçons d'une classe :

Sport choisi Foot Basket Tennis Volley
Nombre de garçons 4 3 3 2

La fréquence des garçons faisant du basket est \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\).

Une fréquence peut être donnée en fraction réduite ou en valeur décimale (seulement si la valeur est exacte ou si on demande une valeur arrondie).

\(\displaystyle{\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0,25}\)

Une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

En la multipliant par 100, une fréquence peut être exprimée en pourcentage.

La fréquence \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) peut s'exprimer \(\displaystyle{\dfrac{3}{12} \times 100 = 0,25 \times 100 = 25\%}\).

La somme de toutes les fréquences d'une série est égale à 1.

On ajoute une ligne au tableau de la série statistique précédente pour visualiser la fréquence de chaque sport :

Sport choisi Foot Basket Tennis Volley
Nombre de garçons 4 3 3 2
Fréquence \(\displaystyle{\dfrac{4}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{2}{12}}\)

On a bien :

\(\displaystyle{\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{4+3+3+2}{12} = \dfrac{12}{12} = 1}\)

D

La moyenne et la moyenne pondérée

Moyenne

La moyenne d'une série statistique, souvent notée \(\displaystyle{m}\), se calcule en sommant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total.

Voici les notes obtenues par les 32 élèves d'une classe au dernier contrôle de maths :
5 − 8 − 8 − 8 − 9 − 9 − 9 − 9 − 9 − 10 − 10 − 10 − 10 − 10 − 10 − 10,5 − 10,5 − 11 − 11 − 11 − 11 − 11 − 13 − 13 − 13 − 13 − 13 − 13 − 14 − 14,5 − 14,5 − 16

La moyenne de ce contrôle est égale à la somme de toutes ces notes divisée par le nombre de notes, c'est-à-dire par 32 :

\(\displaystyle{m = \dfrac{347}{32} \approx 10,8}\) (arrondie au dixième)

On peut uniquement calculer la moyenne des séries statistiques dont les valeurs sont des nombres (et pas des sports, des couleurs, etc.).

Pour calculer plus facilement une moyenne, on peut utiliser la formule de la moyenne pondérée :

  • on multiplie chaque valeur par son effectif ;
  • on calcule la somme de ces produits ;
  • on divise enfin cette somme par l'effectif total.

On présente la série de l'exemple précédent dans un tableau d'effectifs :

Note 5 8 9 10 10,5 11 13 14 14,5 16
Nombre d'élèves 1 3 5 6 2 5 6 1 2 1

On peut ainsi calculer facilement la moyenne pondérée :

\(\displaystyle{m = \dfrac{5 \times 1 + 8 \times 3 + 9 \times 5 + 10 \times 6 + 10,5 \times 2 + 11 \times 5 + 13 \times 6 + 14 \times 1 + 14,5 \times 2 + 16 \times 1}{32} \approx 10,8}\) (arrondie au dixième)

Cette méthode de calcul de la moyenne est plus appropriée lorsque la série statistique est présentée sous forme de tableau.

Pour calculer une moyenne on peut utiliser le mode statistique d'une calculatrice ou un tableur (logiciel Excel, par exemple).

II

Les différentes représentations d'une série statistique

A

Le diagramme en bâtons

Diagramme en bâtons

Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme en bâtons. La hauteur des bâtons est proportionnelle aux effectifs.

Le diagramme en bâtons suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.

-
B

Diagramme en barres

Histogramme ou diagramme en barres

A la place d'un diagramme en bâtons, on peut tracer un histogramme ou diagramme en barres, où les bâtons sont remplacés par des rectangles.

Le diagramme en barres suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.

-

Les histogrammes sont en général adaptés aux séries réparties en classes.

C

Le diagramme circulaire ou semi-circulaire

Diagramme circulaire

Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme circulaire. L'angle des portions est proportionnel aux effectifs.

Le diagramme circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 360.

Sport choisi Foot Basket Tennis Volley
Nombre de garçons 4 3 3 2
Fréquence \(\displaystyle{\dfrac{4}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{2}{12}}\)
Angle \(\displaystyle{\dfrac{4}{12} \times 360 = 120^\circ}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ}\) \(\displaystyle{\dfrac{2}{12} \times 360 = 60^\circ}\)
-
Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \(\displaystyle{\dfrac{360}{\text{effectif total}}}\).

Pour les garçons faisant du foot : \(\displaystyle{4\times\dfrac{360}{12}=120°}\)

Diagramme semi-circulaire

Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme semi-circulaire (demi-cercle). L'angle des portions est proportionnel aux effectifs.

Le diagramme semi-circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 180.

Sport choisi Foot Basket Tennis Volley
Nombre de garçons 4 3 3 2
Fréquence \(\displaystyle{\dfrac{4}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12}}\) \(\displaystyle{\dfrac{2}{12}}\)
Angle \(\displaystyle{\dfrac{4}{12} \times 180 = 60^\circ}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ}\) \(\displaystyle{\dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ}\)

\(\displaystyle{\dfrac{2}{12} \times 180 = 30^\circ}\)

-

Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \(\displaystyle{\dfrac{180}{\text{effectif total}}}\).

Pour les garçons faisant du foot : \(\displaystyle{4\times\dfrac{180}{12}=60°}\)

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