Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-x^{3}+2x-5.
La droite (T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.
Quelle est la construction correcte de la droite (T) ?
La fonction f est un polynôme de degré 3 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On sait que si f est une fonction dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est donc la droite :
- de coefficient directeur f′(1) ;
- passant par le point de coordonnées (1;f(1)).
D'une part, on calcule f(1) :
f(1)=-1^{3}+2 \times 1-5=-4
La tangente (T) passe donc par le point de coordonnées (1;-4).
D'autre part, on calcule f′(1) :
Pour tout réel x, f'(x)=-3x^2+2.
On a donc :
f′(1)=-3\times 1^2+2=-1
La tangente (T) est donc la droite de coefficient directeur -1, passant par le point de la courbe de coordonnées (1;-4).
La seule construction qui vérifie les deux conditions est la suivante :
Soit g la fonction définie pour tout réel x par g(x)=\dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}x^2+x.
La droite (T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0.
Quelle est la construction correcte de la droite (T) ?
La fonction g est un polynôme de degré 3 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On sait que si f est une fonction dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
La tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est donc la droite :
- de coefficient directeur g'(0) ;
- passant par le point de coordonnées (0\ ; \ g(0)).
D'une part, on calcule g(0) :
g(0)=\dfrac{2}{3}\times 0^{3}-\dfrac{1}{2}\times 0^2+0
On a donc g(0)=0.
La tangente (T) passe donc par le point de la courbe de g de coordonnées (0;0).
D'autre part, on calcule g'(0) :
Pour tout réel x, g'(x)=\dfrac{2}{3}\times 3x^{2}-\dfrac{1}{2}\times 2x+1.
g'(x)=2x^{2}-x+1
On a donc :
g'(0)=2\times 0^2-0+1=1
La tangente (T) est donc la droite de coefficient directeur 1, passant par le point de la courbe de coordonnées (0;0).
La seule construction qui vérifie les deux conditions est la suivante :
Soit h la fonction définie pour tout réel x par h(x)=x^{2}-2x+1.
La droite (T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction h au point d'abscisse 2.
Quelle est la construction correcte de la droite (T) ?
La fonction h est un polynôme de degré 2 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On sait que si f est une fonction dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
La tangente à la courbe de h au point d'abscisse 2 est donc la droite :
- de coefficient directeur h'(2) ;
- passant par le point de coordonnées (2\ ;\ h(2)).
D'une part, on calcule h(2) :
h(2)=2^{2}-2 \times 2+1=1
La tangente (T) passe donc par le point de coordonnées (2;1).
D'autre part, on calcule h'(2) :
Pour tout réel x, h'(x)=2x-2.
On a donc :
h'(2)=2\times 2-2=2
La tangente (T) est donc la droite de coefficient directeur 2, passant par le point de la courbe de coordonnées (2;1).
La seule construction qui vérifie les deux conditions est la suivante :
Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=x^{3}+x^2+1.
La droite (T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse (-1).
Quelle est la construction correcte de la droite (T) ?
La fonction f est un polynôme de degré 3 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On sait que si f est une fonction dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
La tangente (T) à la courbe de f au point d'abscisse (-1) est donc la droite :
- de coefficient directeur f′(-1) ;
- passant par le point de coordonnées (-1\ ;\ f(-1)).
D'une part, on calcule f(-1) :
f(-1)=(-1)^{3}+1^2+1=-1+1+1=1
La tangente (T) passe donc par le point de coordonnées (-1;1).
D'autre part, on calcule f′(-1) :
Pour tout réel x, f'(x)=3x^2+2x.
On a donc :
f′(-1)=3\times (-1)^2+2\times (-1)=3-2=1
La tangente (T) est donc la droite de coefficient directeur 1, passant par le point de la courbe de coordonnées (-1;1).
La seule construction qui vérifie les deux conditions est la suivante :
Soit j la fonction définie pour tout réel x par j(x)=2x^2-3x+4.
La droite (T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction j au point d'abscisse \dfrac{1}{2}.
Quelle est la construction correcte de la droite (T) ?
La fonction j est un polynôme de degré 2 donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On sait que si f est une fonction dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
La tangente (T) à la courbe de j au point d'abscisse \dfrac{1}{2} est donc la droite :
- de coefficient directeur j'(\dfrac{1}{2}) ;
- passant par le point de coordonnées (\dfrac{1}{2}\ ;\ j(\dfrac{1}{2})).
D'une part, on calcule j(\dfrac{1}{2}) :
j(\dfrac{1}{2})=2\times (\dfrac{1}{2})^{2}-3 \times \dfrac{1}{2}+4
On a donc :
j(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}- \dfrac{3}{2}+4 =3
La tangente (T) passe donc par le point de coordonnées (\dfrac{1}{2}\ ;\ 3).
D'autre part, on calcule j′(\dfrac{1}{2}) :
Pour tout réel x, j'(x)=2\times 2x-3=4x-3.
On a donc :
j'(\dfrac{1}{2})=4\times \dfrac{1}{2}-3=-1
La tangente (T) est donc la droite de coefficient directeur -1, passant par le point de la courbe de coordonnées (\dfrac{1}{2}\ ;\ 3).
La seule construction qui vérifie les deux conditions est la suivante :
