Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x)=\dfrac{4}{3}x^{3}-5x^2+2.
Quel est le tableau de variations de la fonction f ?
Calcul de f'(x)
On sait que f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est une fonction polynôme de degré 3.
Pour tout nombre réel x, on a f(x)= \dfrac{4}{3}x^{3}-5x^2+2.
La fonction f la somme de fonctions dont on connaît la dérivée. On a donc, pour tout nombre réel x :
f'(x)=\dfrac{4}{3} \times 3x^2-5\times 2x+0
f'(x)=4x^2-10x
On peut factoriser cette expression par le facteur 2x qui est commun à 4x^2 et 10x.
Ainsi, pour tout nombre réel x :
f'(x)=2x(2x-5)
Signe de f'(x)
On étudie sur \mathbb{R} le signe de f'(x)=2x(2x-5). C'est le produit de deux fonctions affines x\longmapsto 2x et x\longmapsto 2x-5. On étudie donc le signe de chacune de ces deux fonctions sur \mathbb{R}.
- 2x\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 0
- 2x-5\geqslant 0\Leftrightarrow 2x\geqslant 5\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{5}{2}
On dresse le tableau de signes de f'(x) :
Variations de f
On sait que si une fonction f est dérivable \mathbb{R}, alors :
- si f′(x)≥0 sur un intervalle I, alors la fonction f est croissante sur I ;
-
si f′(x)\leqslant0 sur un intervalle I, alors la fonction f est décroissante sur I.
On en déduit que :
- f est croissante sur les intervalles ]-\infty ; 0] et [\dfrac{5}{2} ; +\infty[.
- f est décroissante sur l'intervalle [0; \dfrac{5}{2}].
On calcule ensuite les images de 0 et de \dfrac{5}{2} qui doivent apparaître dans le tableau :
f(0)= \dfrac{4}{3} \times 0^{3}-5\times 0^2+2=2
Et :
f(\dfrac{5}{2})= \dfrac{4}{3} \times(\dfrac{5}{2})^{3}-5\times(\dfrac{5}{2})^2+2
f(\dfrac{5}{2})= \dfrac{4}{3} \times\dfrac{125}{8}-5\times\dfrac{25}{4}+2
f(\dfrac{5}{2})= \dfrac{125}{6} -\dfrac{125}{4}+2=-\dfrac{101}{12}
Le tableau de variations de la fonction f est :
Soit la fonction g définie pour tout nombre réel x par g(x)=\dfrac{3}{2}x^2-2x-2.
Quel est le tableau de variations de la fonction g ?
Calcul de g'(x)
On sait que g est dérivable sur \mathbb{R} car c'est une fonction polynôme de degré 2.
Pour tout nombre réel x, on a g(x)=\dfrac{3}{2}x^2-2x-2.
La fonction g la somme de fonctions dont on connaît la dérivée. On a donc, pour tout nombre réel x :
g'(x)=\dfrac{3}{2}\times 2x-2
g'(x)=3x-2
Signe de g'(x)
On étudie sur \mathbb{R} le signe de g'(x)=3x-2.
C'est une fonction affine.
3x-2\geqslant 0\Leftrightarrow 3x\geqslant 2\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{2}{3}
On dresse le tableau de signes de g'(x) :
Variations de g
On sait que si une fonction f est dérivable \mathbb{R}, alors :
- si f′(x)≥0 sur un intervalle I, alors la fonction f est croissante sur I ;
-
si f′(x)\leqslant0 sur un intervalle I, alors la fonction f est décroissante sur I.
On en déduit que :
- g est décroissante sur ]-\infty ; \dfrac{2}{3}] ;
- g est croissante sur l'intervalle [\dfrac{2}{3}; +\infty[.
On calcule ensuite l'image de \dfrac{2}{3} qui doit apparaître dans le tableau :
g(\dfrac{2}{3})=\dfrac{3}{2}\times (\dfrac{2}{3})^{2}-2\times \dfrac{2}{3}-2 =\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}-2=-\dfrac{8}{3}
Le tableau de variations de la fonction g est donc :
Soit la fonction h définie pour tout nombre réel x par h(x)=-2x^{3}-3x^2.
Quel est le tableau de variations de la fonction h ?
Calcul de h'(x)
On sait que h est dérivable sur \mathbb{R} car c'est une fonction polynôme de degré 3.
Pour tout nombre réel x, on a h(x)=-2x^{3}-3x^2.
La fonction h est la somme de fonctions dont on connaît la dérivée. On a donc, pour tout nombre réel x :
h'(x)=-2 \times 3x^2-3\times 2x
h'(x)=-6x^2-6x
On peut factoriser cette expression par le facteur -6x qui est commun à -6x^2 et -6x.
Ainsi, pour tout nombre réel x :
h'(x)=-6x(x+1)
Signe de h'(x)
On étudie sur \mathbb{R} le signe de h'(x)=-6x(x+1).
C'est le produit de deux fonctions affines x\longmapsto -6x et x\longmapsto x+1. On étudie donc le signe de chacune des ces deux fonctions sur \mathbb{R}.
- -6x\geqslant 0\Leftrightarrow x\leqslant 0
- x+1\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant -1
On dresse le tableau de signes de h'(x) :
Variations de h
On sait que si une fonction f est dérivable \mathbb{R}, alors :
- si f′(x)≥0 sur un intervalle I, alors la fonction f est croissante sur I ;
-
si f′(x)\leqslant0 sur un intervalle I, alors la fonction f est décroissante sur I.
On en déduit que :
- h est croissante sur les intervalles ]-\infty ; -1] et [0 ; +\infty[ ;
- h est décroissante sur l'intervalle [-1;0].
On calcule ensuite les images de 0 et de (-1) qui doivent apparaître dans le tableau :
h(0)= -2 \times 0^{3}-3\times 0^2=0
Et :
h(-1)=-2\times (-1)^{3}-3\times (-1)^{2}=2-3=-1
Le tableau de variations de la fonction h est donc :
Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x)=x^{3}+4x+5.
Quel est le tableau de variations de la fonction f ?
Calcul de f'(x)
On sait que f est dérivable sur \mathbb{R} car c'est une fonction polynôme de degré 3.
Pour tout nombre réel x, on a f(x)=x^{3}+4x+5.
C'est la somme de fonctions dont on connaît la dérivée.
On a donc, pour tout nombre réel x :
f'(x)= 3x^2+4
Signe de f'(x)
On étudie sur \mathbb{R} le signe de f'(x)=3x^2+4.
C'est la somme de la fonction x\longmapsto 3x^2, positive sur \mathbb{R} et de la fonction constante x\longmapsto 4, strictement positive sur \mathbb{R}.
Ainsi, pour tout nombre réel x, f'(x) \gt 0.
On dresse le tableau de signes de f'(x) :
Variations de f
On sait que si une fonction f est dérivable \mathbb{R}, alors :
Si f′(x)≥0 sur un intervalle I, alors la fonction f est croissante sur I.
On en déduit que f est croissante sur \mathbb{R}.
Le tableau de variations de la fonction f est :
Soit la fonction h définie pour tout nombre réel x par h(x)=-x^{3}+9x^2-27x+81.
Quel est le tableau de variations de la fonction h ?
Calcul de h'(x)
On sait que h est dérivable sur \mathbb{R} car c'est une fonction polynôme de degré 3.
Pour tout nombre réel x, on a h(x)=-x^{3}+9x^2-27x+81.
C'est la somme de fonctions dont on connaît la dérivée. On a donc, pour tout nombre réel x :
h'(x)=-3x^{2}+9\times2x-27
h'(x)=-3x^{2}+18x-27
On peut factoriser cette expression par le facteur -3 qui est commun à -3x^2, 18x et (-27).
Ainsi, pour tout nombre réel x :
h'(x)=-3(x^{2}-6 x+9)
On reconnaît dans les parenthèses une identité remarquable du type : a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.
On factorise de nouveau h'(x)=-3(x^{2}-6 x+9) :
h'(x)=-3(x-3)^{2}
Signe de h'(x)
On étudie sur \mathbb{R} le signe de h'(x)=-3(x-3)^{2}.
C'est le produit du réel (-3) par la fonction polynôme x\longmapsto (x-3)^2.
On étudie donc le signe de cette fonction.
On a pour tout réel x :
- (x-3)^2\geqslant 0
- (x-3)^2=0\Leftrightarrow x=3
On dresse le tableau de signes de h'(x) :
Variations de h
On sait que si une fonction f est dérivable \mathbb{R}, alors :
Si f′(x)\leqslant0 sur un intervalle I, alors la fonction f est décroissante sur I.
On en déduit que h est décroissante sur \mathbb{R}.
Le tableau de variations de la fonction h est donc :
