Une entreprise fabrique un objet dont le coût de production (en centaines d'euros) en fonction du nombre d'unités produites (en dizaines) est modélisé par la fonction x \longmapsto x^3-3x^2+5.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^3-3x^2+5.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée f' de f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} puisque c'est un polynôme de degré 3.
Pour tout nombre réel x, on a :
f(x)=x^{3}-3x^{2}+5
On en déduit que pour tout nombre réel x :
f'(x)=3x^{2}-3\times 2x+0
Soit :
f'(x)=3x^{2}-6x
Cette expression peut être factorisée par 3x qui est commun aux termes 3x^2 et (-6x).
Ainsi, pour tout nombre réel x, f'(x)=3x(x-2).
Quel est le tableau de signes de f'(x) sur \mathbb{R} ?
On sait que pour tout nombre réel x, f'(x)=3x(x-2).
Ainsi f'(x) est le produit de deux fonctions affines : x\longmapsto3x et x\longmapsto x-2.
On étudie donc le signe de chaque fonction affine sur \mathbb{R} :
- 3x\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 0
- x-2\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 2
On dresse ensuite le tableau de signes de f'(x) :
Ainsi, le tableau de signes de f'(x) sur \mathbb{R} est :
Quel est le sens de variation de f sur \mathbb{R} ?
Si f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}, on sait que :
- si f′(x)≥0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I ;
-
si f′(x)\leqslant0 sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
Or ici :
- f′(x)≥0 si et seulement si x\in ]-\infty ; 0]\cup[2 ; +\infty[ ;
- f′(x)\leqslant0 si et seulement si x\in [0;2].
Ainsi, la fonction f est croissante sur ]-\infty ; 0]\cup[2 ; +\infty[ et décroissante sur [0;2].
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
Si la fonction dérivée f' s'annule en un réel a appartenant à I, en changeant de signe de part et d'autre du réel a, alors la fonction f admet un extremum (maximum ou minimum) local en a.
Dans le cas présent, f dérivable sur l'intervalle [1 ; 3]. Par ailleurs, on connaît le signe de la fonction dérivée f' sur \mathbb{R} :
Ainsi, sur l'intervalle [1 ; 3] :
- f'(x) change de signe de part et d'autre de 2 ;
- f'(2)=0.
On en déduit que sur l'intervalle [1; 3], f admet un extremum en 2.
D'autre part, f est décroissante sur [1 ; 2] et croissante sur [2;3]. On en déduit que cet extremum est un minimum.
Ainsi sur l'intervalle [1;3], f admet un minimum en 2.
Pour calculer la valeur de ce minimum, on calcule l'image de 2 par f.
f(2)=2^{3}-3\times 2^2+5=8-12+5=1
Sur l'intervalle [1;3], f admet donc un minimum en 2 égal à 1.
L'entreprise fabrique un objet dont le coût de production (en centaines d'euros) en fonction du nombre d'unités produites (en dizaines) est modélisé par la fonction f sur l'intervalle [0 ; +\infty[.
Elle envisage une production comprise entre 10 et 30 unités.
Pour quelles quantités produites entre 10 et 30 unités le coût de production sera-t-il minimal ?
Le coût de production pour x dizaines d'unités est modélisé par f.
L'entreprise prévoit une production entre 10 et 30 unités : on a donc x compris entre 1 et 3.
Or, dans l'intervalle [ 1; 3], f admet un minimum en 2.
Ainsi le coût de production sera minimum pour 2 dizaines d'unités.
Le coût de production sera minimal pour 20 unités produites.