f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-x^2+3x+5.
Soient C_{f} la courbe représentant f dans un repère orthogonal, et A le point de C_{f} d'abscisse 0.
Quelle est l'équation réduite de la tangente à C_{f} en A ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f′(a)(x-a)+f(a)
Ici, la fonction f : x\longmapsto -x^2+3x+5 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 : f est dérivable sur \mathbb{R}, et en particulier en 0. L'équation de la tangente à C_{f} au point A d'abscisse 0 est donc :
y=f'(0)(x-0)+f(0)
On a :
f(0)=-0^2+3\times0+5=5
Par ailleurs, pour tout réel x, on a :
f'(x)=-2x+3
Donc :
f'(0)=-2 \times 0+3=3
On en déduit que la tangente à C_{f} au point A d'abscisse 0 a pour équation :
y=3(x-0)+5
L'équation réduite de la tangente à C_{f} en A est donc :
y=3x+5
g est la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=3x^2-2x+4.
Soient C_{g} la courbe représentant g dans un repère orthogonal, et A le point de C_{g} d'abscisse 1.
Quelle est l'équation réduite de la tangente à C_{g} en A ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f′(a)(x-a)+f(a)
Ici, la fonction g : x \longmapsto3x^2-2x+4 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 : g est dérivable sur \mathbb{R}, et en particulier, g est dérivable en 1.
L'équation de la tangente à C_{g} au point A d'abscisse 1 est donc :
y=g'(1)(x-1)+g(1)
On a :
g(1)=3 \times 1^2-2 \times 1+4=5
Par ailleurs, pour tout réel x, on a :
g'(x)=6x-2
Donc :
g'(1)=6-2=4
On en déduit que la tangente à C_{g} au point A d'abscisse 1 admet comme équation :
y=4(x-1)+5
y=4x-4+5
L'équation réduite de la tangente à C_{g} au point A d'abscisse 1 est :
y=4x+1
h est la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=x^{3}+2x^2-x+5.
C_{h} est la courbe représentant h dans un repère orthogonal, et B le point de C_{h} d'abscisse (-2).
Quelle est l'équation réduite de la tangente à C_{h} en B ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f′(a)(x-a)+f(a)
Ici, la fonction h(x)=x^{3}+2x^2-x+5 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 : h est dérivable sur \mathbb{R}, et en particulier en (-2).
L'équation de la tangente à C_{h} au point B d'abscisse (-2) est donc :
y=h'(-2)(x-(-2))+h(-2)
y=h'(-2)(x+2)+h(-2)
On a :
h(-2)=(-2)^{3}+2\times (-2)^{2}-(-2)+5
h(-2)=-8+8+2+5=7
Par ailleurs, pour tout réel x, on a :
h'(x)=3x^{2}+4x-1
Donc :
h'(-2)=3\times (-2)^{2}+4\times (-2)-1=12-8-1=3
On en déduit que la tangente à C_{h} au point B d'abscisse (-2) admet comme équation :
y=3(x-(-2))+7
y=3x+6+7
En conclusion, l'équation réduite de la tangente à C_{h} en B est :
y=3x+13
f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x^{3}-x^2+5x.
C_{f} est la courbe représentant f dans un repère orthogonal, et B le point de C_{f} d'abscisse 0.
Quelle est l'équation réduite de la tangente à C_{f} en B ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f′(a)(x-a)+f(a)
Ici, la fonction f : x \longmapsto 2x^{3}-x^{2}+5x est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 : f est dérivable sur \mathbb{R}, et en particulier en 0.
L'équation de la tangente à C_{f} au point B d'abscisse 0 est donc :
y=f'(0)(x-0)+f(0)
On a :
f(0)=2 \times 0^{3}-0^{2}+5 \times 0=0
Par ailleurs, pour tout réel x, on a :
f'(x)=6x^{2}-2x+5
Donc :
f'(0)=6 \times 0^{2} -2 \times 0+5 =5
On en déduit que la tangente à C_{f} au point B d'abscisse 0 a pour équation :
y=5(x-0)+0
En conclusion, l'équation réduite de la tangente à C_{f} en B est :
y=5x
g est la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=x^{3} -3x^{2}-9x-5.
Soient C_{g} la courbe représentant g dans un repère orthogonal, et A le point de C_{g} d'abscisse -1.
Quelle est l'équation cartésienne réduite de la tangente à C_{g} en A ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f′(a)(x-a)+f(a)
Ici, la fonction g : x\longmapsto x^{3} -3x^{2}-9x-5 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 : g est dérivable sur \mathbb{R}, et en particulier en (-1).
L'équation de la tangente à C_{g} au point A d'abscisse (-1) est donc :
y=g'(-1)(x-(-1))+g(-1)
y=g'(-1)(x+1)+g(-1)
On a :
g(-1)=(-1)^{3}-3 \times (-1)^{2}-9\times (-1)-5
g(-1)=-1-3+9-5 =0
Par ailleurs, pour tout réel x, on a :
g'(x)=3x^{2}-6x-9
Donc :
g'(-1)=3 \times (-1)^{2}-6 \times (-1) -9 =3+6-9=0
On en déduit que la tangente à C_{g} au point A d'abscisse (-1) admet comme équation :
y=0(x+1)+0
y=0