Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} si x\geqslant0
f\left( x \right)=0 si x\lt0
Quelle est la valeur de p\left( 1\leq X \leq 2\right) ?
Dans le cas d'une variable aléatoire à densité X de densité f, pour tous réels a et b, on a :
p\left( a\leq X \leq b\right)=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ici, on a donc :
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Comme 1 et 2 sont des réels positifs :
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=\int_{1}^{2} \dfrac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} \ \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} est x\longmapsto -e^{-\frac{1}{2}x}.
Ainsi, on obtient :
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=\left[- e^{-\frac{1}{2}x}\right]_{1}^{2}
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=-e^{-\frac{1}{2}\times 2}-\left(-e^{-\frac{1}{2}\times1}\right)
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=-e^{-1}+e^{-\frac{1}{2}}
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=e^{-\frac{1}{2}}-e^{-1}
On peut conclure :
p\left( 1\leq X \leq 2\right)=e^{-\frac{1}{2}}-e^{-1} \approx 0{,}239
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{4} si x\in\left[ 0{,}2 \right]
f\left(x\right)=0 si x\notin\left[ 0{,}2 \right]
Quelle est la valeur de p\left( 1\leqslant X\leqslant3\right) ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=8x si x\in\left[ 0,\dfrac{1}{2} \right]
f\left( x \right)=0 si x\notin\left[ 0,\dfrac{1}{2} \right]
Quelle est la valeur de p\left(\dfrac{1}{4} \leq X \leq \dfrac{1}{3}\right) ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=e^{-x} si x\geqslant0
f\left( x \right)=0 si x\lt0
Quelle est la valeur de p\left(2 \leq X \leq 7\right) ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x} si x\geqslant0
f\left( x \right)=0 si x\lt0
Quelle est la valeur de p\left(0 \leq X \leq 5\right) ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2 +\dfrac{1}{2} si x\in\left[ 0{,}1 \right]
f\left( x \right)=0 si x\notin\left[ 0{,}1 \right]
Quelle est la valeur de p\left(\dfrac{1}{2} \leq X \leq 1\right) ?