Soient a et b deux réels tels que a\lt b. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire X de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;1\right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2 +\dfrac{1}{2}
Quelle est l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire à densité X de densité f définie sur \left[ 0;1 \right] est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\int_{0}^{1}x f\left(x\right) \ \mathrm dx
En remplaçant f par sa définition, on obtient :
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} x\left(\dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}\right) \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} \left( \dfrac{3}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x \right)\ \mathrm dx
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto \dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{x}{2} est x\longmapsto \dfrac{3x^4}{8}+\dfrac{x^2}{4}.
Ainsi, on obtient :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{3x^4}{8}+\dfrac{x^2}{4} \right]_{0}^{1}
E\left(X\right)= \dfrac{3\times 1^4}{8}+\dfrac{1^2}{4} -\left(\dfrac{3\times 0^4}{4}+\dfrac{0^2}{4}\right)
E\left(X\right)= \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{4}-0
On peut alors conclure :
E\left(X\right)= \dfrac{5}{8}
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 2;17 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{ 1}{15}
Quelle est l'espérance de X ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;3 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{ x^2}{9}
Quelle est l'espérance de X ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 3;10 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{ 1}{7}
Quelle est l'espérance de X ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ \dfrac{1}{2};5\right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{ 2}{9}
Quelle est l'espérance de X ?
Soit X une variable aléatoire de densité f définie pour tout x de \left[ 0;\dfrac{1}{2}\right] par :
f\left(x\right)=8x
Quelle est l'espérance de X ?