Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \left[ 2;6 \right].
Quelle proposition correspond à une densité de X ?
X suit la loi uniforme sur \left[ 2;6 \right].
Une densité de X est donc f avec :
\forall x\in\left[ 2;6 \right],f\left(x\right)=\dfrac{1}{6-2}=\dfrac{1}{4}
\forall x\in\left[ 2;6 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}
Quelles sont les valeurs de p\left( X\leqslant2 \right) et p\left(2\leqslant X\leqslant4 \right) ?
f est définie sur \left[ 2;6 \right] donc :
p\left( X\leqslant2 \right)=\int_{2}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx= 0
p\left(2\leqslant X\leqslant4 \right)=\int_{2}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x}{4}\right]_{2}^{4}=\dfrac{4}{4} - \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
p\left( X\leqslant2 \right)=0
p\left(2\leqslant X\leqslant4 \right)= \dfrac{1}{2}
Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant3 \right) ?
p\left( X\geqslant3 \right)=\int_{3}^{6} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
p\left( X\geqslant3\right)=\left[ \dfrac{x}{4}\right]_{3}^{6}
p\left( X\geqslant3 \right)= \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{4}
p\left( X\geqslant3 \right)= \dfrac{3}{4}
p\left( X\geqslant3 \right)=\dfrac{3}{4}
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
Si X suit la loi uniforme sur \left[ a;b \right], alors E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}
Ici, X suit la loi uniforme sur \left[ 1;6 \right], on a donc :
E\left(X\right)=\dfrac{2+6}{2}=4
E\left(X\right)= 4