Montrer qu'une fonction est une densité de probabilité Exercice

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Dernière modification : 26/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

On considère la fonction f définie sur \left] 0;1\right] par :

\forall x\in\left] 0;1\right], f\left(x\right)=\ln\left(x\right)

f est-elle une densité de probabilité ?

f est une densité de probabilité sur \left]0;1\right] car f est continue sur \left]0;1\right]

f est une densité de probabilité sur \left]0;1\right] car f est positive sur \left]0;1\right]

f est une densité de probabilité sur \left]0;1\right] car \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1

f n'est pas une densité de probabilité sur \left] 0;1\right] car \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx n'existe pas

Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :

f est continue sur \left[ a;b \right]
f est positive sur \left[ a;b \right]
\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1

Or \forall x\in\left] 0;1\right], \ln\left(x\right)\leqslant0

Donc f n'est pas positive sur \left] 0;1\right]

f n'est pas une densité de probabilité.

On considère la fonction f définie sur \left[ \dfrac{1}{2};1 \right] par :

\forall x\in\left[ \dfrac{1}{2};1\right], f\left(x\right)=\dfrac{-1}{x^2}

f est-elle une densité de probabilité ?

Oui

Non car \int_{0{,}5}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{2}

Non car \int_{0{,}5}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}

Non car f n'est pas positive sur \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]

On considère la fonction f définie sur \left[ 2;\sqrt{6} \right] par :

\forall x\in\left[ 2;\sqrt{6} \right], f\left(x\right)=x

f est-elle une densité de probabilité ?

Non car \int_{2}^{\sqrt{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}

Non car \int_{2}^{\sqrt{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{2}

Oui

Non car f n'est pas positive sur \left[ 2;\sqrt{6} \right]

On considère la fonction f définie sur \left[ 1;2 \right] par :

\forall x\in\left[ 1;2 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}

f est-elle une densité de probabilité ?

Non car \int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}

Non car \int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\ln\left(2\right)

Non car f n'est pas positive sur \left[ 1;2 \right]

Oui

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\sqrt{2} \right] par :

\forall x\in\left[ 0; \sqrt{2}\right], f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}

f est-elle une densité de probabilité ?

Oui

Non car \int_{0}^{\sqrt{2}} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{2}

Non car f n'est pas positive sur \left[ 0;\sqrt{2} \right]

Non car \int_{0}^{\sqrt{2}} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}

On considère la fonction f définie sur \left[ 0;2 \right] par :

\forall x\in\left[ 0; 2\right], f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}

f est-elle une densité de probabilité ?

Oui

Non car f n'est pas positive sur \left[ 0;2 \right]

Non car \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}

Non car \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{2}