Les suites de matricesCours

I

Suites de matrices colonnes : généralités

A

Convergence des suites de matrices colonnes

Convergence d'une suite de matrices colonnes

Une suite \left(U_n\right) de matrices colonnes de taille m converge vers une matrice colonne U de taille m si et seulement si chacune des m suites formées par les coefficients de U_n converge vers le coefficient correspondant de U.

On considère la suite de matrices définie par :

\forall n\in \mathbb{N}, U_{n}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2^n} \cr\cr 1 \cr\cr 2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \end{pmatrix}

Comme \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n=0, on a :

\lim\limits_{n \to +\infty}U_n=\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

La suite de matrices \left(U_n\right) converge vers la matrice U=\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.

Suite de matrices divergente

Une suite de matrices qui ne converge pas est dite divergente.

On considère la suite de matrices définie par :

\forall n\in \mathbb{N}, U_{n}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2^n} \cr\cr 2^n \cr\cr 2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \end{pmatrix}

Comme \lim\limits_{n \to +\infty}2^n=+\infty, la suite de matrices \left(U_n\right) ne converge pas. Cette suite de matrices diverge.

Dans la pratique, pour montrer que la suite de matrices \left(U_n\right) converge, on écrit chaque coefficient de la matrice U_n en fonction de n et on cherche la limite de chacun de ces coefficients.

B

Suites de matrices colonnes de la forme U_{n+1}=AU_{n}

Soit A une matrice carrée de taille m et X une matrice colonne de taille m.

Il existe une unique suite de matrices colonnes de taille m, notée \left(U_n\right) vérifiant :

  • U_0=X
  • \forall n\in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n

Soient X=\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}. On peut définir une unique suite de matrices colonnes de taille 2 \left(U_n\right) vérifiant :

  • U_0=X
  • \forall n\in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n

Soient a, b, c et d quatre réels, \left(u_n\right) et \left(v_n\right) deux suites vérifiant le système suivant :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{cases} u_{n+1}=au_n+bv_n \cr \cr v_{n+1}=cu_n+dv_n \end{cases}

Etudier les suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) revient à étudier la suite de matrices U_n=\begin{pmatrix} u_n \cr\cr v_n \end{pmatrix} vérifiant la relation U_{n+1}=AU_n, avec A=\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}.

Soient \left(u_n\right) et \left(v_n\right) deux suites vérifiant le système suivant :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{cases} u_{n+1}=2u_n+v_n \cr \cr v_{n+1}=3u_n+5v_n \end{cases}

Etudier les suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) revient à étudier la suite de matrices U_n=\begin{pmatrix} u_n \cr\cr v_n \end{pmatrix} vérifiant la relation U_{n+1}=AU_n, avec A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \cr\cr 3 & 5 \end{pmatrix}.

Avec les notations précédentes, si pour tout entier naturel n, U_{n+1}=AU{n}, on a alors :

\forall n \in \mathbb{N}, U_{n}=A^{n}U_{0}

Il faut savoir démontrer cette propriété par récurrence, car cela fait souvent l'objet d'une question à part.

Avec les notations précédentes, si la suite de matrices colonnes \left(U_n\right) vérifie une relation du type U_{n+1}=AU_{n}, et si cette suite converge vers une matrice U, alors on a :

U=AU

C

Suites de matrices colonnes de la forme U_{n+1}=AU_{n}+B

Soit A une matrice carrée de taille m, B et X deux matrices colonne de taille m.

Il existe une unique suite de matrices colonnes de taille m, notée \left(U_n\right) vérifiant :

  • U_0=X
  • \forall n\in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n+B

Soient X=\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}. On peut définir une unique suite de matrices colonnes de taille 2 \left(U_n\right) vérifiant :

  • U_0=X
  • \forall n\in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n+B

Soient a, b, c, d, e et f des réels, \left(u_n\right) et \left(v_n\right) deux suites vérifiant le système suivant :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{cases} u_{n+1}=au_n+bv_n+e \cr \cr v_{n+1}=cu_n+dv_n+f \end{cases}

Etudier les suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) revient à étudier la suite de matrices U_n=\begin{pmatrix} u_n \cr\cr v_n \end{pmatrix} vérifiant la relation U_{n+1}=AU_n+B, avec A=\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} e \cr\cr f \end{pmatrix}.

Soient \left(u_n\right) et \left(v_n\right) deux suites vérifiant le système suivant :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{cases} u_{n+1}=2u_n+v_n+4 \cr \cr v_{n+1}=3u_n+5v_n-2 \end{cases}

Etudier les suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) revient à étudier la suite de matrices U_n=\begin{pmatrix} u_n \cr\cr v_n \end{pmatrix} vérifiant la relation U_{n+1}=AU_n+B, avec A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \cr\cr 3 & 5 \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.

Avec les notations précédentes, si la matrice colonne C vérifie C=AC+B et si pour tout entier naturel n, U_{n+1}=AU{n}+B, on a alors, en posant Y_n=U_n-C pour tout entier naturel n :

\forall n \in \mathbb{N}, Y_{n+1}=AY_n

Avec les notations précédentes, si la suite de matrices colonnes \left(U_n\right) vérifie une relation du type U_{n+1}=AU_{n}+B, et si cette suite converge vers une matrice U, alors on a :

U=AU+B

II

Suites de matrices colonnes : application à une marche aléatoire

A

Marche aléatoire : définition et propriétés

Etats et marche aléatoire

Une marche aléatoire est l'évolution au cours du temps d'un système pouvant, à chaque instant n, être dans un certain nombre d'états possibles.

On s'intéresse à l'évolution d'une maladie chez un individu. Au début de l'expérience (appelé jour 0), l'individu est malade avec une probabilité de 5%. Si l'individu est malade un jour donné, il l'est le lendemain avec une probabilité de \dfrac{1}{4}. S'il n'est pas malade un jour donné, il reste sain le lendemain avec une probabilité de \dfrac{2}{3}.

On a ainsi défini une marche aléatoire dont les états sont "être malade" et "être sain".

Matrice de transition

On appelle matrice de transition d'une marche aléatoire et on note T, la matrice carrée dont le coefficient situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j est la probabilité que le système soit à l'instant n+1 dans l'état j sachant qu'il était dans l'état i à l'instant précédent.

En reprenant l'exemple précédent, on a les informations suivantes :

  • Si l'individu est malade un jour donné, il l'est le lendemain avec une probabilité de \dfrac{1}{4}.
  • S'il n'est pas malade un jour donné, il reste sain le lendemain avec une probabilité de \dfrac{2}{3}.

On peut en déduire les 2 probabilités suivantes :

  • Si l'individu est malade un jour donné, il est sain le lendemain avec une probabilité de \dfrac{3}{4}.
  • S'il n'est pas malade un jour donné, il est malade le lendemain avec une probabilité de \dfrac{1}{3}.

En considérant "être malade" comme le premier état du système, la matrice de transition T de cette marche aléatoire est donc :

T=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}

Matrice colonne des états de la marche aléatoire à l'instant n

La matrice colonne des états de la marche aléatoire à l'instant n est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est la probabilité que le système soit à l'état i à l'instant n.

En reprenant l'exemple précédent et en notant m_n la probabilité que l'individu soit malade le jour n et s_n celle qu'il soit sain le jour n, la matrice P_n=\begin{pmatrix} m_n \cr\cr s_n \end{pmatrix} est la matrice colonne d'états de la marche aléatoire à l'instant n.

La somme des éléments de la matrice des états à l'instant n doit valoir 1.

On considère une marche aléatoire dont la matrice de transition est notée T et la matrice colonne des états à l'instant n est notée P_n. On a :

\forall n\in\mathbb{N}, P_{n+1}=TP_{n}

En reprenant l'exemple précédent, on a :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{pmatrix} m_{n+1} \cr\cr s_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_n \cr\cr s_n \end{pmatrix}

Il est important de savoir redémontrer cette propriété à l'aide de la formule des probabilités totales appliquée au système complet d'événements formé par les états possibles du système à l'instant n car cela fait souvent l'objet d'une question à part.

Grâce à un raisonnement par récurrence, on peut déduire de la propriété précédente la relation suivante :

\forall n\in\mathbb{N}, P_{n}=T^{n}P_{0}

En reprenant l'exemple précédent, on a :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{pmatrix} m_{n} \cr\cr s_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix} m_0 \cr\cr s_0 \end{pmatrix}

Or, on a m_{0}=0{,}05 et donc s_{0}=0{,}95 . Donc :

\forall n\in \mathbb{N},\begin{pmatrix} m_{n} \cr\cr s_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix} 0{,}05 \cr\cr 0{,}95 \end{pmatrix}

B

Etude asymptotique d'une marche aléatoire

Convergence d'une marche aléatoire

Une marche aléatoire est dite convergente si la suite \left(P_{n}\right) des matrices colonnes des états converge vers une matrice P.

On s'intéresse à une marche aléatoire dont les matrices colonnes des états sont données par la relation suivante :

\forall n\in \mathbb{N}^*, P_{n}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4^n} \cr\cr \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4^n} \end{pmatrix}

Comme \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{4^n}=0, la suite \left(P_n\right) converge vers la matrice P=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.

Donc cette marche aléatoire est convergente.

Etat stable d'une marche aléatoire

Si la suite \left(P_{n}\right) des matrices colonnes des états converge vers une matrice P, alors cette matrice P est appelée état stable de la marche aléatoire.

Dans l'exemple précédent, l'état stable de la marche aléatoire est \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.

Si la suite \left(P_{n}\right) des matrices colonnes des états converge vers une matrice P, alors, en notant T la matrice de transition de la marche aléatoire, on a :

P=TP

Soit une marche aléatoire dont les matrices colonnes des états ont deux états, et telle que la matrice de transition (carrée de taille 2) ne comporte pas de 0. Alors, quelque soit l'état initial, de la marche aléatoire, celle-ci converge vers un état stable unique X\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} tel que X=TX et a+b=1.

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