Calculer la puissance nième d'une matrice diagonale ou triangulaire Exercice

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Dernière modification : 24/05/2021 - Conforme au programme 2019-2020

On considère la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{pmatrix}

Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ?

A^n=\begin{pmatrix}2^n&0&0\\0&\left(-1\right)^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}

Aⁿ=\begin{pmatrix}2^n&1&1\\1&\left(−1\right)^n&1\\1&1&3^n\end{pmatrix}

Aⁿ⁼ \begin{pmatrix} 1^n& 0 & 0 \cr\cr 0 &1 ^n & 0 \cr\cr 0 & 0 & 1^n \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \cr\cr 0 & -\left(1\right)^n& 0 \cr\cr 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}

Pour tout entier naturel n, on obtient :

A=\begin{pmatrix}2^n&0&0\\0&\left(-1\right)^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}

On considère la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}

Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ?

A^1=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, et pour tout n\geq 3, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

A^{n =}\begin{pmatrix}0&0&−2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 0 & 2^n & 1 \cr\cr 0& 0 & \left(-1\right)^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 1 & 2^n & 1 \cr\cr 0 & 1 & \left(-1\right)^n \cr\cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

On sait que, pour tout entier naturel n\geq 3, on obtient :

A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

On doit donc juste calculer A^2.

A^1=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},

et pour tout n\geq 3, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

On considère la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{pmatrix}

Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ?

A=\begin{pmatrix}\left(-1\right)^n&0&0\\0&5^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} -\left(1\right)^n & 0 & 0 \cr\cr 0 & 5 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 5^n \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} \left(-1\right)^n & 1 & 1 \cr\cr 1 & 5 ^n& 1 \cr\cr 1 & 1 & 3^n \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} -\left(1\right)^n & 11& 1 \cr\cr 1 & 5^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & 3^n \end{pmatrix}

Pour tout entier naturel n, on obtient :

A=\begin{pmatrix}\left(-1\right)^n&0&0\\0&5^n&0\\0&0&3^n\end{pmatrix}

On considère la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix}0&-1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}

Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ?

A^1=\begin{pmatrix}0&-1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, et pour tout n\geq 3, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

A^{n =} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \cr\cr 0 & 0 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 0 & \left(-1\right)^n & 2^n \cr\cr 0 & 0 & 3^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 1 & \left(-1\right)^n & 2^n \cr\cr 1 & 1 & 3^n \cr\cr 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

On sait que, pour tout entier naturel n\geq 3, on obtient :

A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

On doit donc juste calculer A^2.

A^1=\begin{pmatrix}0&-1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},

et pour tout n\geq 3, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

On considère la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix}7&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ?

A=\begin{pmatrix}7^n&0&0\\0&\left(-1\right)^n&0\\0&0&\left(-1\right)^n\end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 7^n & 0 &0 \cr\cr 0 & -\left(1\right)^n & 0 \cr\cr 0 & 0 & -\left(1\right)^n \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 7^n & 1 & 1 \cr\cr 1 & \left(-1\right)^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & \left(-1\right)^n \end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 7^n & 1 & 1 \cr\cr 1 &-\left(1\right)^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & -\left(1\right)^n \end{pmatrix}

Pour tout entier naturel n, on obtient :

A=\begin{pmatrix}7^n&0&0\\0&\left(-1\right)^n&0\\0&0&\left(-1\right)^n\end{pmatrix}

On considère la matrice suivante :

A=\begin{pmatrix}0&5&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}

Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ?

A^1=\begin{pmatrix}0&5&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&5\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, et pour tout n\geq 3, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

A^{n =} \begin{pmatrix} 0 & 5^n & \left(-2\right)^n \cr\\0 & 0 & 1^n \cr\cr 0 & 0 &0 \end{pmatrix}

A^{n =}\begin{pmatrix}0&0&5\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

A^{n =} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

On sait que, pour tout entier naturel n\geq 3, on obtient :

A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

On doit donc juste calculer A^2.

A^1=\begin{pmatrix}0&5&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&5\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},

et pour tout n\geq 3, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.