On considère le graphe probabiliste G suivant :
Quelle est la matrice de transition A associée à G ?
D'après le cours, on sait qu'un graphe probabiliste d'ordre n admet une matrice de transition carrée A de format \left(n;n\right) dont le coefficient a_{ij} est égal au poids de l'arête orientée issue du sommet i et d'extrémité j.
On en déduit la matrice de transition A associée à G :
A= \begin{pmatrix} 0{,}25& 0{,}75\cr\cr 0{,}45& 0{,}55\end{pmatrix}
On donne l'état initial P_0 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.
Quelle est la valeur de P_3 ?
D'après le cours, on sait que la valeur de P_n, l'état probabiliste à l'étape n, vaut :
P_n = P_0 \times A^n
Ici, on en déduit que :
P_3= P_0 \times A^3
Soit :
P_3= \begin{pmatrix} 0{,}5& 0{,}5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0{,}25& 0{,}75\cr\cr 0{,}45& 0{,}55\end{pmatrix}^3
À l'aide de la calculatrice, on en déduit que :
P_3 = \begin{pmatrix} 0{,}374& 0{,}626\end{pmatrix}