On considère le graphe probabiliste G suivant :

Quelle est la matrice de transition A associée à G ?

A= \begin{pmatrix} 0{,}4& 0{,}3& 0{,}4\cr\cr 0{,}6& 0{,}2&0{,}2 \cr\cr 0{,}7 &0{,}1&0{,}2\end{pmatrix}

A= \begin{pmatrix} 0{,}3& 0{,}4& 0{,}3\cr\cr 0{,}6& 0{,}1&0{,}1 \cr\cr 0{,}7 &0{,}1&0{,}2\end{pmatrix}

A= \begin{pmatrix} 0{,}3& 0{,}4& 0{,}3\cr\cr 0{,}7& 0{,}2&0{,}2 \cr\cr 0{,}6 &0{,}1&0{,}2\end{pmatrix}

A= \begin{pmatrix} 0{,}3& 0{,}4& 0{,}3\cr\cr 0{,}6& 0{,}2&0{,}2 \cr\cr 0{,}7 &0{,}1&0{,}2\end{pmatrix}

D'après le cours, on sait qu'un graphe probabiliste d'ordre n admet une matrice de transition carrée A de format \left(n;n\right) dont le coefficient a_{ij} est égal au poids de l'arête orientée issue du sommet i et d'extrémité j.

On en déduit la matrice de transition A associée à G :

A= \begin{pmatrix} 0{,}3& 0{,}4& 0{,}3\cr\cr 0{,}6& 0{,}2&0{,}2 \cr\cr 0{,}7 &0{,}1&0{,}2\end{pmatrix}

On donne l'état initial P_0 = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}3 &0{,}3\end{pmatrix}.

Quelle est la valeur de P_2 ?

P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}371& 0{,}178 & 0{,}151\end{pmatrix}

P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}471& 0{,}278 & 0{,}251\end{pmatrix}

P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}671& 0{,}478 & 0{,}451\end{pmatrix}

P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}571& 0{,}378 & 0{,}351\end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que la valeur de P_n, l'état probabiliste à l'étape n, vaut :

P_n = P_0 \times A^n

Ici, on en déduit que :

P_2= P_0 \times A^2

Soit :

P_2= \begin{pmatrix} 0{,}4& 0{,}3&0{,}3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0{,}3& 0{,}4& 0{,}3\cr\cr 0{,}6& 0{,}2&0{,}2 \cr\cr 0{,}7 &0{,}1&0{,}2\end{pmatrix}^2

À l'aide de la calculatrice, on en déduit que :

P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}471& 0{,}278 & 0{,}251\end{pmatrix}