Soient A = \dfrac{828}{756} et B=\dfrac{112}{84}.
Quelle est la fraction irréductible de A ?
Pour mettre une fraction sous forme irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers :
Décomposition de 828 :
828 = 2 \times 414\\414 = 2\times 207\\207 = 3\times 69\\69=3\times23
23 est un nombre premier. La décomposition de 828 est donc :
828=2^2\times3^2\times23
Décomposition de 756 :
756 = 2\times 378\\378 = 2\times189\\189= 3\times63\\63=3\times21\\21 = 3\times7
7 est un nombre premier. La décomposition de 756 est donc :
756=2^2\times3^3\times7
On remplace dans la fraction et on simplifie les facteurs communs :
\dfrac{2\times2\times3\times\times23}{2\times2\times3\times3\times3\times7}=\dfrac{23}{3\times7}=\dfrac{23}{21}
\dfrac{23}{21}
Quelle est la fraction irréductible de B ?
Pour mettre une fraction sous forme irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers :
Décomposition de 112 :
112=2\times56\\56=2\times28\\28=2\times14\\14=2\times7
7 est un nombre premier. La décomposition de 112 est donc :
112=2^4\times7
Décomposition de 84:
84=2\times42\\42=2\times21\\21=3\times7
7 est un nombre premier. La décomposition de 84 est donc :
84=2^2\times3\times7
On remplace dans la fraction et on simplifie les facteurs communs :
\dfrac{2\times2\times2\times2\times7}{2\times2\times3\times7}=\dfrac{2\times2}{3}=\dfrac{4}{3}
\dfrac{4}{3}
Quelle est la somme de A et B ?
On utilise la forme irréductible de chaque fraction. On a donc :
A+B=\dfrac{23}{21}+\dfrac{4}{3}
Pour pouvoir additionner, il faut d'abord mettre les fractions au même dénominateur. Ici, on peut prendre 21 en dénominateur commun :
\dfrac{23}{21}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{23}{21}+\dfrac{4\times7}{3\times7}=\dfrac{23}{21}+\dfrac{28}{21}=\dfrac{23+28}{21}=\dfrac{51}{21}
On peut réduire le résultat :
\dfrac{51}{21}=\dfrac{3\times17}{3\times7}=\dfrac{17}{7}
A+B=\dfrac{17}{7}
Quel est le produit de A et B ?
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les deux numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur, et les deux dénominateurs ensemble pour obtenir le nouveau dénominateur.
Pour avoir des calculs les plus simples possibles, on utilise la forme irréductible de A et B :
A\times B=\dfrac{23}{21}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{23\times4}{21\times3}=\dfrac{92}{63}
A\times B =\dfrac{92}{63}
Quelle est la fraction irréductible du produit de A et B ?
À la question précédente, on a trouvé : A\times B = \dfrac{92}{63}
On a :
- 92 = 23\times2\times2
- 63 = 3\times3\times7
92 et 63 n'ont pas de diviseurs communs.
La fraction est donc irréductible.
La forme irréductible du produit de A et B est \dfrac{92}{63}.