Image formée par une lentille Cours

Sommaire

ILe modèle de la lentille mince convergenteALes points caractéristiquesBLa distance focaleIIDétermination des caractéristiques de l'image formée par une lentille mince convergenteALes caractéristiques de l'imageBDétermination géométrique de la position et de la taille de l'image1Cas d'un objet placé devant le foyer objet F de la lentille2Cas d'un objet placé entre le foyer objet F et le centre optique O de la lentilleCDétermination de la position de l'image à l'aide de la relation de conjugaisonDDétermination de la taille de l'image à l'aide du grandissement1Le grandissement2Détermination de la taille de l'imageIIIRécapitulatif

 

Notions À savoir
Lentille mince Milieu transparent limité par deux surfaces dont l'une au moins n'est pas plane, symétrique par rapport à son axe optique Δ.

Mesure algébrique d'une longueur

Longueur affectée d'un signe, dépendant du sens choisi comme positif, indiqué sur le schéma. Son symbole est alors affecté d'un trait supérieur.

Modélisation optique de l'œil

L'œil possède des éléments optiques qui lui permettent d'assurer la vision :

  • En régulant la quantité de lumière qui pénètre dans l'œil, l'iris joue le rôle d'un diaphragme.
  • En faisant converger les rayons lumineux, le cristallin joue le rôle d'une lentille mince convergente.
  • La rétine joue le rôle d'écran sur laquelle l'image se forme.
-

Lentille mince dite convergente : un faisceau incident parallèle en ressort en convergeant.

-

Représentation d'une lentille convergente par un segment fléché.

-

Mesure algébrique d'une longueur. Ici : OA'>0 mais OA<0

-

Modélisation optique de l'œil

I

Le modèle de la lentille mince convergente

A

Les points caractéristiques

Le comportement d'une lentille mince convergente est caractérisé par trois points caractéristiques : son centre optique O, son foyer objet F, son foyer image F'.

-

Les rayons lumineux passant par les points caractéristiques d'une lentille convergente ont un tracé connu :

-

On appelle :

  • Milieu objet et milieu image les régions respectivement avant la lentille (qui contient le foyer objet F ) et après la lentille (qui contient le foyer image F' ).
  • Plan focal objet et plan focal image les plans perpendiculaires à l'axe optique passant respectivement par les foyers objet F et image F'.
-
B

La distance focale

Une lentille mince est caractérisée par sa distance focale.

Distance focale f'

La distance focale f'  d'une lentille est la mesure algébrique de la distance séparant son centre optique O et son foyer image F' :

f'_{\left(\text{m}\right)} = \overline{OF'}_{\left(\text{m}\right)}

Elle s'exprime en mètres (m).

Si le centre optique O et le foyer image F' d'une lentille sont distants de 15 cm, sa distance focale est alors :

f' = \overline{OF'} = 0,15\text{ m}  

La distance focale d'une lentille convergente est positive alors que celle d'une lentille divergente est négative.

II

Détermination des caractéristiques de l'image formée par une lentille mince convergente

A

Les caractéristiques de l'image

On dispose d'un objet lumineux représenté par une flèche AB perpendiculaire à l'axe optique (le point A étant sur l'axe optique) et on cherche à déterminer les caractéristiques de l'image, notée A'B', formée par une lentille mince convergente.

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Image réelle

Une image réelle est une image qui peut se former sur un écran.

L'image obtenue avec un vidéoprojecteur est une image réelle.

Image virtuelle

Une image virtuelle est une image qui ne peut pas se former sur un écran mais qui est visible à l'œil nu.

L'image obtenue avec une loupe est une image virtuelle.

Les caractéristiques de l'image formée par une lentille sont :

  • sa position, indiquée par la distance \overline{OA'}  ;
  • sa nature : réelle si \overline{OA'} \gt 0, virtuelle si \overline{OA'} \lt 0 ;
  • sa taille, indiquée par la distance \overline{A'B'} : l'image est agrandie si \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right| et réduite si |\overline{A'B'} | \lt | \overline{AB}|  ;
  • son sens : l'image est droite si \overline {A'B'}  est de même signe que \overline{AB} et renversée sinon.

Les longueurs de ces différentes mesures algébriques sont généralement déterminées à partir d'une échelle indiquée sur le schéma.

-

Dans cette situation :

  • la position de l'image est indiquée par la distance \overline{OA'} = 12,0\text{ cm}  ;
  • l'image est réelle, puisque   \overline{OA'} \gt 0  ;
  • la taille de l'image est \overline{A'B'} = –3,0\text{ cm}  et elle est agrandie, puisque celle de l'objet est \overline{AB} = 1,5 \text{ cm}  ; 
  • l'image est renversée, puisque sa taille \overline {A'B'} est négative alors que celle de l'objet \overline{AB}  est positive.
B

Détermination géométrique de la position et de la taille de l'image

1

Cas d'un objet placé devant le foyer objet F de la lentille

Lorsque l'objet est placé devant le foyer objet F de la lentille, l'image formée par la lentille est réelle.

Lorsque l'objet AB est placé au-delà du foyer objet F de la lentille mince convergente, les rayons lumineux qui émergent de celle-ci se coupent dans le milieu image (après la lentille), de sorte que la position de l'image \overline{OA'}  est positive. Alors, l'image A'B' obtenue est réelle.

Pour déterminer géométriquement la position d'une image réelle, on trace les rayons passant par les points caractéristiques de la lentille. 

Méthode
On souhaite tracer l'image qu'une lentille forme à partir d'un objet placé devant son foyer objet F.

-

On trace le rayon passant par le sommet B et par le centre optique O  sachant qu'il émerge de la lentille sans être dévié.

-

On trace le rayon passant par le sommet B et parallèle à l'axe optique sachant qu'il émerge de la lentille en passant par le foyer image F'.

-

On trace le rayon passant par le sommet B  et le foyer objet F sachant qu'il émerge de la lentille parallèle à l'axe optique.

-

On note le point B', image du point B, au niveau de l'intersection des trois rayons lumineux.

-

On note le point A', image du point A, en projetant orthogonalement le point B' sur l'axe optique. L'image

-

L'image A'B' est alors :

  • réelle, car \overline{OA'} \gt 0  ;
  • agrandie, car \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right|  ;
  • renversée, car \overline{A'B'} \lt 0  alors que \overline{AB} \gt 0.
2

Cas d'un objet placé entre le foyer objet F et le centre optique O de la lentille 

Lorsque l'objet est placé entre le foyer objet F et le centre optique O de la lentille, l'image formée par la lentille est virtuelle.

Lorsque l'objet AB est placé entre le foyer objet  F  et le centre optique de la lentille mince convergente, les rayons lumineux qui émergent de celle-ci ne se coupent pas dans le milieu image (après la lentille) mais dans le milieu objet (avant la lentille), de sorte que la position de l'image \overline{OA'} est négative. 

L'image A'B' obtenue est alors virtuelle.

Pour déterminer géométriquement la position d'une image virtuelle, on trace les rayons passant par les points caractéristiques de la lentille et on trouve leur point d'intersection en les prolongeant dans le milieu objet.

Méthode
On souhaite tracer l'image qu'une lentille forme à partir d'un objet placé entre son foyer objet F et son centre optique O.

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On trace les rayons passant par le sommet B et par les trois points caractéristiques de la lentille (le rayon passant par le foyer objet F étant tracé en pointillés jusqu'au point B car son sens ne correspond pas à celui du parcours de la lumière).

-

On prolonge les rayons en pointillés du côté du milieu image pour trouver leur point d'intersection.

-

On note le point B', image du point B, au niveau de l'intersection des prolongations des trois rayons lumineux.

-

On note le point A', image du point A, en projetant orthogonalement le point B' sur l'axe optique. L'image A'B' est alors représentée par un segment fléché de A' vers B'.

-

L'image A'B'  est alors :

  • virtuelle, car \overline{OA'} \lt 0  ;
  • agrandie, car \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right|  ;
  • droite, car \overline{A'B'} \gt 0  alors que \overline{AB} \gt 0.

Si l'objet AB est placé sur le foyer objet F, les rayons lumineux sont parallèles et ne se coupent donc ni dans le milieu objet ni dans le milieu image : on dit que l'image est rejetée à l'infini et sa vision à l'œil nu se fait sans fatigue.

-
C

Détermination de la position de l'image à l'aide de la relation de conjugaison

La relation de conjugaison permet de déterminer la position de l'image à partir de la distance focale de la lentille f' et de la position de l'objet.

La relation de conjugaison lie les positions de l'objet \overline{OA} , de l'image \overline{OA'} et la distance focale f' de la lentille :

\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{1}{f'_{\left(\text{m}\right)}}

L'expression littérale donnant la position de l'image à partir de celle de l'objet et de la distance focale de la lentille est alors :

\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)} = \dfrac{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}\times f'_{\left(\text{m}\right)}}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}+ f'_{\left(\text{m}\right)}}

Il n'est pas obligatoire de convertir les distances, du moment qu'elles sont exprimées dans le même multiple ou sous-multiple du mètre.

-

Dans cette situation, on peut mesurer :

  • la position de l'objet : \overline{OA} = –6,0\text{ cm}  ;
  • la distance focale de la lentille : f' = 4,0\text{ cm}.

 

La relation de conjugaison permet bien de retrouver la position de l'image.

Puisque :

\dfrac{1}{\overline{OA'}} – \dfrac{1}{\overline{OA}}= \dfrac{1}{f'}

On a :

\overline{OA'} = \dfrac{\overline{OA} \times f'}{\overline{OA}+ f'}

Soit :

\overline{OA'} = \dfrac{\overline{–6,0} \times 4,0}{\overline{–6,0}+ 4,0}

\overline{OA'} = 12,0\text{ cm}  

D

Détermination de la taille de l'image à l'aide du grandissement

1

Le grandissement

Le grandissement \Gamma relie les tailles de l'objet et de l'image.

Le grandissement \Gamma est égal au rapport de la taille de l'image par celle de l'objet :

\Gamma = \dfrac{\overline{A'B'}_{(\text{m})}}{\overline{{AB}_{(\text{m})}}}

Il n'est pas obligatoire de convertir les distances, du moment qu'elles sont exprimées dans le même multiple ou sous-multiple du mètre.

-

Dans cette situation, le grandissement est :

\Gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{{AB}}} \\\Gamma = \dfrac{3,0}{1,0}\\\Gamma = 3,0 

Le grandissement renseigne aussi sur les caractéristiques de l'image :

  • Si \Gamma \gt 0 , l'image est dans le même sens que l'objet et si \Gamma \lt 0 , l'image est renversée.
  • Si |\Gamma | \gt 1 , l'image est agrandie et si |\Gamma | \lt 1 , l'image est réduite.
-

Dans cette situation : 

  • \Gamma \gt 0  : l'image est droite.
  • | \Gamma | \gt 1  : l'image est agrandie.
2

Détermination de la taille de l'image

Le grandissement \Gamma  permet de déterminer la taille de l'image à partir de sa position et de la position et la taille de l'objet.

-

D'après le théorème de Thalès :

\dfrac{AB}{OA} = \dfrac{A'B'}{OA'}

D'où :

\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}

Le grandissement permet de déterminer la taille de l'image à partir de celle de l'objet :

\overline{A'B'} = \Gamma \times \overline{AB}

Et puisqu'il est égal au rapport de la position \overline{OA'} de l'image par celle de l'objet  \overline{OA} , il relie aussi ces grandeurs à la taille de l'image \overline{A'B'}  et permet donc de la calculer :

\overline{A'B'} = \dfrac{OA'}{\overline{{OA}} \times \overline{AB}}

-

Dans cette situation, la taille de l'image est bien donnée par cette relation :

\overline{A'B'} = \dfrac{OA'}{\overline{{OA}} \times \overline{AB}}

\overline{A'B'} = \dfrac{OA'}{\overline{{OA}} \times \overline{AB}} = \dfrac{-12,0}{-4,0} \times 1,0 = 3,0\text{ cm}

III

Récapitulatif

Points caractéristiques d'une lentille mince convergente

Le comportement d'une lentille mince convergente est caractérisé par trois points caractéristiques : son centre optique O, son foyer objet F, son foyer image F'.

Distance focale f'

Mesure algébrique de la distance séparant son centre optique O et son foyer image F' :

f'_{\left(\text{m}\right)} = \overline{OF'}_{\left(\text{m}\right)}

Caractéristiques de l'image formée par une lentille

  • sa position, indiquée par la distance  \overline{OA'}  ;
  • sa nature : réelle si  \overline{OA'} \gt 0, virtuelle si  \overline{OA'} \lt 0  ;
  • sa taille, indiquée par la distance  \overline{A'B'}  : l'image est agrandie si  \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right|    et réduite si  |\overline{A'B'} | \it | \overline{AB}|   ;
  • son sens : l'image est droite si  \overline {A'B'}   est de même signe que  \overline{AB}  et renversée sinon.

Relation de conjugaison

Elle lie les positions de l'objet \overline{OA}, de l'image \overline{OA'} et la distance focale f' de la lentille :

\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} − \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{1}{f'_{\left(\text{m}\right)}}  

L'expression littérale donnant la position de l'image à partir de celle de l'objet et de la distance focale de la lentille est alors :

\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)} = \dfrac{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}\times f'_{\left(\text{m}\right)}}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}+ f'_{\left(\text{m}\right)}}

Grandissement

Le grandissement \Gamma est égal au rapport de la taille de l'image par celle de l'objet :

  • Si \Gamma\gt0, l'image est dans le même sens que l'objet et si \Gamma\lt0, l'image est renversée.
  • Si |\Gamma | \gt 1, l'image est agrandie et si |\Gamma | \lt 1, l'image est réduite.

Il permet aussi de déterminer la taille de l'image à partir de sa position \overline{OA'}   et de la position \overline{OA} et la taille \overline{AB} de l'objet :

\overline{A'B'} = \Gamma \times \overline{AB}

\overline{A'B'} = \dfrac{OA'}{\overline{{OA}} \times \overline{AB}}

-

Points caractéristiques d'une lentille mince convergente

-

Détermination géométrique de la position et de la taille de l'image : on trace les rayons issus de B et passant par les points caractéristiques, s'ils se coupent dans le milieu image, l'image est réelle.

-

Détermination géométrique de la position et de la taille de l'image : on trace les rayons issus de B et passant par les points caractéristiques. Si, après avoir été prolongés, ils se coupent dans le milieu objet, l'image est virtuelle.