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Calculer une longueur d'onde à partir de la célérité

La longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) est une grandeur caractéristique d'une onde lors de sa propagation. On la calcule à partir de la relation liant la célérité v de l'onde, la longueur d'onde et la période temporelle T :

\(\displaystyle{v= \dfrac{\lambda}{T}}\)

On considère une onde se propageant dans un milieu avec une célérité v de 120,5 m.s−1. La période temporelle T de cette onde valant de 25 µs, on cherche à calculer la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) de cette onde en mm.

Etape 1

Rappeler la formule liant la célérité v, la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) et la période temporelle T

On donne la formule liant la célérité v (en m.s−1), la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) (en m) et la période temporelle T (en s) :

\(\displaystyle{v = \dfrac{\lambda}{T}}\)

On sait que la célérité v (en m.s−1), la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) (en m) et la période temporelle T (en s) sont liées par la relation suivante :

\(\displaystyle{v = \dfrac{\lambda}{T}}\)

Etape 2

Manipuler la formule pour exprimer la longueur d'onde en fonction des autres paramètres

On manipule la formule pour exprimer la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) en fonction de la période temporelle T et de la célérité v :

\(\displaystyle{v = \dfrac{\lambda}{T}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \lambda = v \times T}\)

On déduit que l'expression de la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) en fonction des autres paramètres est la suivante :

\(\displaystyle{\lambda = v \times T}\)

Etape 3

Exprimer les paramètres dans la bonne unité

Les paramètres sont la période temporelle T et la célérité v. On vérifie que :

  • La période temporelle est exprimée en secondes.
  • La célérité est exprimée en mètres par seconde.

Si ce n'est pas le cas, on effectue les conversions nécessaires.

La période temporelle doit être exprimée en s et la célérité en m.s−1. D'après l'énoncé, la célérité vaut 120,5 m.s−1, elle est donc exprimée en mètres par seconde et il n'est pas nécessaire de la convertir. En revanche, la période temporelle vaut 25 µs, elle est donc exprimée en microsecondes et on doit la convertir en secondes :

\(\displaystyle{T = 25}\) µs donc \(\displaystyle{T = 25.10^{-6}}\) s

Les paramètres exprimés dans la bonne unité sont donc :

  • La période temporelle T qui vaut 25.10−6 s.
  • La célérité v qui vaut 120,5 m.s−1.
Etape 4

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique afin de déterminer la valeur de la longueur d'onde.

On trouve que la longueur d'onde \(\displaystyle{ \lambda}\) exprimée en m vaut alors :

\(\displaystyle{\lambda = 120,5 \times 25.10^{-6}}\)

\(\displaystyle{\lambda = 3,0125.10^{-3}}\) m

Etape 5

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit la longueur d'onde avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

La période temporelle T est exprimée avec deux chiffres significatifs tandis que la célérité v est exprimée avec quatre chiffres significatifs, on exprime donc la longueur d'onde \(\displaystyle{\lambda}\) avec deux chiffres significatifs :

\(\displaystyle{\lambda = 3,0.10^{-3}}\) m

Etape 6

Exprimer le résultat dans l'unité demandée

On vérifie que la longueur d'onde est exprimée dans l'unité demandée dans l'énoncé. Si ce n'est pas le cas, on effectue les conversions nécessaires.

Si aucune unité n'est précisée dans l'énoncé, on exprime le résultat dans l'unité que l'on choisit.

Si l'on doit effectuer une conversion, on fait attention à bien garder le même nombre de chiffres significatifs avant et après la conversion.

D'après l'énoncé, on cherche la longueur d'onde exprimée en mm. La longueur d'onde calculée est exprimée en m. On effectue donc la conversion nécessaire :

\(\displaystyle{\lambda = 3,0.10^{-3}}\) m

Donc :

\(\displaystyle{\lambda = 3,0}\) mm

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