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Calculer la fréquence d'un photon lors d'une transition

Une transition énergétique a lieu lorsqu'un électron initialement dans un niveau d'énergie \(\displaystyle{E_1}\) passe à un niveau d'énergie \(\displaystyle{E_2}\) en absorbant un photon de fréquence v. On calcule la valeur de la fréquence du photon à partir de la relation de Planck-Einstein et de la différence d'énergie entre les deux niveaux.

À l'aide du diagramme énergétique de l'hydrogène, calculer la fréquence du photon nécessaire pour une transition du niveau \(\displaystyle{E_1}\) vers le niveau \(\displaystyle{E_2}\).

-

Données :

  • \(\displaystyle{h=6,63\times10^{-34}}\) J.s
  • \(\displaystyle{1 eV=1,60\times10^{-19}}\) J
Etape 1

Rappeler la relation de Planck-Einstein

On rappelle la relation de Planck-Einstein (ou simplement relation de Planck) entre l'énergie \(\displaystyle{\Delta E}\) (en J) transportée par un photon et sa fréquence v (en Hz) : \(\displaystyle{\Delta E = h \times \nu}\).

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie \(\displaystyle{\Delta E}\) transportée par un photon est donnée par la formule :

\(\displaystyle{\Delta E = h \times \nu}\)

Etape 2

Rappeler la condition sur l'énergie du photon pour que la transition soit permise

On rappelle qu'une transition entre un niveau d'énergie \(\displaystyle{E_1}\) et un niveau d'énergie \(\displaystyle{E_2}\) n'est possible que si l'énergie \(\displaystyle{\Delta E}\) transportée par le photon est égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux :

\(\displaystyle{\Delta E = \left|E_2 - E_1 \right|}\)

Une transition entre le niveau d'énergie \(\displaystyle{E_1}\) et le niveau d'énergie \(\displaystyle{E_2}\) n'est possible que si l'énergie \(\displaystyle{\Delta E}\) transportée par le photon est égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux :

\(\displaystyle{\Delta E = \left|E_2 - E_1 \right|}\)

Etape 3

Déduire la relation entre la fréquence v du photon et les valeurs \(\displaystyle{E_1}\) et \(\displaystyle{E_2}\) des niveaux d'énergie

On déduit de la relation de Planck-Einstein la relation liant la fréquence v du photon et la différence d'énergie entre les deux niveaux impliqués dans la transition :

\(\displaystyle{h \times \nu = \left|E_2 - E_1 \right|}\)

La relation liant la fréquence v du photon et la différence d'énergie entre les deux niveaux impliqués dans la transition est donc :

\(\displaystyle{h \times \nu = \left|E_2 - E_1 \right|}\)

Etape 4

Exprimer la fréquence v en fonction des autres paramètres

On exprime la fréquence v (en Hz) en fonction des énergies \(\displaystyle{E_1}\) (en J) et \(\displaystyle{E_2}\) (en J) :

\(\displaystyle{\nu = \dfrac{\left|E_2 - E_1 \right|}{h}}\)

On obtient la relation suivante :

\(\displaystyle{\nu = \dfrac{\left|E_2 - E_1 \right|}{h}}\)

Etape 5

Exprimer les énergies \(\displaystyle{E_1}\) et \(\displaystyle{E_2}\) dans la bonne unité

Les énergies \(\displaystyle{E_1}\) et \(\displaystyle{E_2}\) doivent être exprimées en Joule (J). Si elles sont exprimées en eV, on réalise alors la conversion nécessaire.

On convertit en Joules les énergies \(\displaystyle{E_1}\) et \(\displaystyle{E_2}\) :

  • \(\displaystyle{E_1=-13,6\times\left(1,6\times10^{-19}\right)=-2,176\times10^{-18}}\) J
  • \(\displaystyle{E_2=-3,4\times\left(1,6\times10^{-19}\right)=-5,44\times10^{-19}}\) J
Etape 6

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique afin de calculer la valeur de la fréquence transportée par le photon.

On obtient :

\(\displaystyle{\nu = \dfrac{\left|\left(-5,44\times10^{-19}\right) -\left(-2,176\times10^{-18}\right) \right|}{ 6,63\times10^{-34}}}\)

\(\displaystyle{\nu = 2,4615\times10^{15}}\) Hz

Etape 7

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

Le résultat doit être écrit avec deux chiffres significatifs :

\(\displaystyle{\nu = 2,5\times10^{15}}\) Hz

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