On lance une pièce équilibrée trois fois de suite.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de « face » obtenus.
Quelle est la loi de X ?
Un lancer de la pièce correspond à une épreuve de Bernoulli dont les issues sont :
« obtenir face » correspondant au « succès » et « obtenir pile » correspondant à l'échec.
La situation présentée ici correspond donc à la répétition de cette épreuve de Bernoulli, trois fois, de façon indépendante.
La probabilité du succès étant de 0,5, la variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres (3; 0{,}5).
X suit une loi binomiale de paramètres (3; 0{,}5).
Une urne contient 4 boules rouges et 8 boules bleues.
On tire successivement et avec remise deux boules dans l'urne.
Soit X la variable comptant le nombre de boules rouges obtenues.
Quelle est la loi de X ?
Ici, il s'agit bien de deux épreuves successives, identiques, et indépendante car on remet la boule choisie après chaque tirage.
Pour chacune des épreuves, il n'y a que deux issues possibles :
- Tirer une boule rouge, de probabilité \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.
- Tirer une boule bleue, de probabilité \dfrac{2}{3}.
Si l'on considère comme « succès » l'événement « tirer une boule rouge », la variable X compte les succès obtenus dans le schéma de Bernoulli précédent.
X suit donc une loi binomiale de paramètres \left(2;\dfrac{1}{3}\right).
Une urne contient 10 boules rouges, 8 boules blanches et 12 boules bleues.
On tire successivement et avec remise trois boules dans l'urne.
On appelle « succès » l'événement S « ne pas tirer une boule bleue ».
Soit X la variable comptant le nombre de succès.
Quelle est la loi de X ?
Ici, il s'agit bien de trois épreuves successives, identiques, et indépendante car on remet la boule choisie après chaque tirage.
Pour chacune des épreuves, il n'y a que deux issues possibles :
- Succès : Tirer une boule rouge ou une boule blanche, de probabilité \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}.
- Échec : Tirer une boule bleue, de probabilité \dfrac{2}{5}.
La variable X compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli.
X suit donc une loi binomiale de paramètres \left(3;\dfrac{3}{5}\right).
On dispose d'un jeu de 32 cartes.
On tire successivement et avec remise deux cartes dans le jeu.
Pour chaque carte rouge tirée, le joueur ne gagne rien. Pour chaque carte noire tirée, le joueur gagne 1 €.
Soit X la variable comptant la somme remportée à la fin du jeu.
Quelle est la loi de X ?
Ici, il s'agit bien de deux épreuves indépendantes puisqu'on remet la carte tirée après chaque tirage.
La probabilité de tirer une carte noire est égale à la probabilité de tirer une carte rouge : 0,5.
X peut prendre trois valeurs :
- X = 0, obtenue si on tire deux cartes rouges. Cet événement a une probabilité de 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25.
- X = 1, obtenue de deux manières différentes : tirer une carte noire puis une carte rouge ou tirer une carte rouge puis une carte noire. La probabilité de cet événement est donc : 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5.
- X = 2, obtenue en tirant deux cartes noires. Cet événement a une probabilité de 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25.
X suit donc la loi suivante :
On dispose d'un jeu de 52 cartes.
On tire successivement trois cartes dans le jeu avec remise.
Pour chaque figure tirée (valet, dame, roi), le joueur gagne 1 €. Pour chaque numéro tiré, le joueur ne gagne rien.
Soit X la variable comptant la somme remportée à la fin du jeu.
Quelle est la loi de X ?
Ici, il s'agit bien de trois épreuves indépendantes puisqu'on remet la carte tirée après chaque tirage.
La probabilité de tirer une figure est égale à \dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}. La probabilité de ne pas tirer une figure est donc \dfrac{10}{13}.
On note F l'événement « tirer une figure ». Soit \overline{F} l'événement contraire.
X peut prendre quatre valeurs :
- X = 0, obtenue avec le seul triplet ( \overline{F}, \overline{F}, \overline{F}), de probabilité \left( \dfrac{10}{13} \right)^3 = \dfrac{\text{1 000}}{\text{2 197}}.
- X = 1, obtenue avec trois triplets différents : ( F, \overline{F}, \overline{F}), ( \overline{F}, F, \overline{F}), ( \overline{F}, \overline{F}, F), qui ont chacun la même probabilité \dfrac{3}{13}\times \left(\dfrac{10}{13} \right)^2 = \dfrac{300}{\text{2 197}}.
La probabilité totale est donc : 3\times \dfrac{300}{\text{2 197}} = \dfrac{900}{\text{2 197}}.
- X = 2, obtenue avec trois triplets différents ( F, F, \overline{F}), ( \overline{F}, F, F), ( F, \overline{F}, F), qui ont chacun la même probabilité \dfrac{10}{13}\times \left(\dfrac{3}{13} \right)^2 = \dfrac{90}{\text{2 197}}.
La probabilité totale est donc 3 \times \dfrac{90}{\text{2 197}} = \dfrac{270}{\text{2 197}}.
- X = 3, obtenue avec le seul triplet (F, F, F), de probabilité \left( \dfrac{3}{13} \right)^3 = \dfrac{27}{\text{2 197}}.
X suit donc la loi suivante :
