La loi uniforme discrète
Lors d'une expérience aléatoire, si chaque issue a la même probabilité de se réaliser, on parle d'équiprobabilité. La loi uniforme discrète sur l'ensemble d'entiers \left\{ 1;2;...;n \right\} modélise ce phénomène.
Loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;...;n \right\}
Soit n un entier naturel non nul, et X une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans \left\{ 1;2;...;n \right\} .
On dit que X suit la loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;...;n \right\} si toutes les valeurs prises par X ont la même probabilité d'être obtenues.
Une urne contient 7 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 7. On prend une boule au hasard dans cette urne.
Comme le tirage est effectué au hasard sur des boules indiscernables au toucher, chaque boule a la même probabilité d'être obtenue.
Si on note X la variable aléatoire qui donne le numéro de la boule obtenue, X suit la loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;3;4;5;6 ;7 \right\}.
Expression de la loi uniforme discrète
Soit n un entier naturel non nul, et X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;...;n \right\}.
Alors pour tout entier k appartenant à \left\{ 1;2;...;n \right\}, P(X=k)=\dfrac{1}{n}.
Une urne contient 7 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 7. On prend une boule au hasard dans cette urne.
La probabilité d'obtenir la boule numérotée k est P(X=k)=\dfrac{1}{7}, quel que soit k appartenant à \left\{ 1;2; 3; 4;5;6;7 \right\}.
Espérance d'une loi uniforme discrète
Soit n un entier naturel non nul, et X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;...;n \right\}.
Alors l'espérance de X est :
E(X)=\dfrac{n+1}{2}
Soit n un entier naturel non nul, et X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;...;n \right\}.
Par définition de l'espérance d'une variable aléatoire, on a :
E(X)=1 \times P(X=1) +2 \times P(X=2) +...+(n-1) \times P(X=n-1) +n\times P(X=n)\\
Ainsi :
E(X)=1 \times\dfrac{1}{n} +2 \times \dfrac{1}{n} +...+(n-1) \times \dfrac{1}{n} +n\times \dfrac{1}{n}=\dfrac{1+2+...+(n-1)+n}{n}
Au numérateur, on reconnaît la somme des n premiers entiers naturels non nuls :
1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
On conclut :
E(X)=\dfrac{n(n+1)}{2n}=\dfrac{n+1}{2}
Une urne contient 7 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 7. On prend une boule au hasard dans cette urne.
On note X la variable aléatoire qui prend la valeur notée sur la boule.
Le tirage étant équiprobable, X suit la loi uniforme discrète sur \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}.
Son espérance est donc E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4.
La loi de Bernoulli
Lors d'une expérience aléatoire, on est souvent amené à considérer une issue comme étant le « succès », et donc les autres issues comme correspondant à un « échec ». Une épreuve est donc souvent ramenée à une épreuve n'ayant que deux issues : le succès et l'échec.
Épreuve de Bernoulli
Soit p un réel compris entre 0 et 1.
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire ne comptant que deux issues (l'une nommée « succès », l'autre « échec ») dont la probabilité que le « succès » se réalise est p.
Lors d'un jeu de dés, on lance une fois un dé cubique et équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On gagne si on obtient un 6.
Comme le dé est équilibré, la probabilité de gagner est \dfrac{1}{6}.
Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p=\dfrac{1}{6}.
Loi de Bernoulli
Soit un réel p compris entre 0 et 1.
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si :
- les valeurs prises par X sont 0 et 1 ;
- P(X=1)=p.
On note alors :
X \hookrightarrow\mathcal{B}(p)
Lors d'un jeu de dés, on lance une fois un dé cubique et équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On gagne si on obtient un 6.
Comme le dé est équilibré, la probabilité de gagner est de \dfrac{1}{6}.
La variable aléatoire X prenant la valeur 1 lorsqu'on obtient un 6, et 0 sinon, suit donc la loi de Bernoulli de paramètre \dfrac{1}{6}.
On note :
X \hookrightarrow\mathcal{B}(\dfrac{1}{6})
On a :
P(X=1)=\dfrac{1}{6} et P(X=0)=\dfrac{5}{6}
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
P(X=1)=p est équivalent à P(X=0)=1-p.
Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Alors E(X)=p.
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Les valeurs prises par X sont 0 et 1.
On a P(X=1)=p donc la probabilité de l'événement contraire est P(X=0)=1-p.
Ainsi :
E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)=0 \times(1-p) +1\times p
E(X)=p
Une urne contient 7 boules indiscernables au toucher : 2 sont de couleur bleue et 5 de couleur jaune.
Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l'urne. Le joueur est gagnant s'il tire une boule de couleur bleue.
L'expérience aléatoire ne comporte que deux issues : soit le joueur gagne (en tirant une boule bleue) avec une probabilité de \dfrac{2}{7} ; soit il perd en tirant une boule jaune.
Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p=\dfrac{2}{7}.
Si X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 avec une probabilité p=\dfrac{2}{7} et 0 sinon, alors X \hookrightarrow\mathcal{B}(\dfrac{2}{7}).
Et on a E(X)=p=\dfrac{2}{7}\approx0{,}29.
Variance et écart type d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Alors :
- la variance de X est V(X)=p(1-p) ;
- l'écart type de X est \sigma (X)=\sqrt{p(1-p)}.
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Les valeurs prises par X sont 0 et 1.
On a P(X=1)=p donc la probabilité de l'événement contraire est P(X=0)=1-p.
Par définition de la variance d'une variable aléatoire :
V(X)= P(X=0)\times [0-E(X)]^{2}+ P(X=1)\times [1-E(X)]^{2}
Ainsi :
V(X)=(1-p)\times p^{2}+ p(1-p)^{2}
En factorisant par (1-p)p :
V(X)=(1-p) p \times[p+ (1-p)]
D'où V(X)=p(1-p).
L'écart type est la racine carrée de la variance donc \sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{p(1-p)}.
Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans une urne contenant 7 boules indiscernables au toucher : 2 de couleur bleue et 5 de couleur jaune.
Le joueur est gagnant s'il tire une boule de couleur bleue.
Si X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 avec une probabilité p=\dfrac{2}{7} et 0 sinon, alors X \hookrightarrow\mathcal{B}(\dfrac{2}{7}).
On a :
V(X)=p(1-p)=\dfrac{2}{7} \times (1-\dfrac{2}{7})=\dfrac{10}{49}
\sigma (X)=\sqrt{\dfrac{10}{49}}=\dfrac{\sqrt{10}}{7}\approx 0{,}45
L'espérance d'une variable aléatoire X a une valeur de moyenne dans l'hypothèse où l'on répète l'expérience aléatoire un grand nombre de fois.
L'écart type mesure la dispersion de la loi de probabilité de la variable aléatoire autour de cette espérance.
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre \dfrac{2}{7}.
On a :
E(X)=\dfrac{2}{7}\approx0{,}29 donc la fréquence moyenne de gain à ce jeu est 29\text{ \%} environ, si on y un joue un grand nombre de fois.
\sigma (X)\approx0{,}45 signifie qu'avec une espérance de 29\text{ \%} le risque de perdre est important !
La loi binomiale
Schéma de Bernoulli
De nombreuses expériences aléatoires sont constituées d'une succession de plusieurs épreuves indépendantes. Dans ce type de cas, la visualisation des issues à l'aide d'un arbre est pratique et le calcul de la probabilité d'un événement élémentaire est un produit.
Soit E_1, E_2, ..., E_n une succession d'épreuves indépendantes d'univers respectifs \Omega_1, \Omega_2, ..., \Omega_n.
Alors :
- l'univers de cette succession d'épreuves est l'ensemble des issues \left( i_{1},i_{2},i_{3},...,i_{n} \right) où chaque i_{j} est une issue de l'univers \Omega_{j} ;
- pour toute issue de l'univers \Omega : A=\left\{(i_1, i_2, ..., i_n)\right\}, la probabilité de l'événement A est le produit des probabilités des événements \left\{i_1\right\}, \left\{i_2\right\}, ..., \left\{i_n\right\} calculées dans leur univers respectif.
On considère les deux expériences suivantes :
E_1 : On lance une pièce de monnaie équilibrée. On note P (respectivement F) l'issue « pile » (respectivement « face »).
L'univers de cette expérience E_1 est \Omega_{1}=\left\{ P; F \right\}.
E_2 : On lance un dé cubique équilibré dont deux faces sont bleues et les autres sont rouges. On note B (respectivement R) l'issue « bleu » (respectivement « rouge »).
L'univers de cette expérience E_2 est \Omega_{2}=\left\{ B; R \right\}.
L'univers de la succession de ces deux épreuves indépendantes est formé de l'ensemble des issues \left( i;j \right) où i appartient à \Omega_{1}=\left\{ P; F \right\} et j appartient à \Omega_{2}=\left\{ B; R \right\} :
\Omega =\left\{ (P;B) ; (P; R); (F; B); (F; R) \right\}
On peut visualiser la succession de ces deux expériences par l'arbre pondéré ci-dessous :
La probabilité de l'événement \{(P;B)\} est égale à :
P({P}) \times P({B})=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}
Schéma de Bernoulli
Soit p un nombre réel compris entre 0 et 1.
On appelle schéma de Bernoulli de paramètres (n;p) une succession de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, identiques et indépendantes :
- toutes les épreuves de Bernoulli ont les mêmes issues nommées « succès » et « échec » ;
- les probabilités des événements ne changent pas d'une épreuve à l'autre.
Soit l'épreuve de Bernoulli consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et pour laquelle le succès correspond à l'obtention d'un 6.
En répétant 4 fois cette épreuve de façon indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli de paramètres \left(4;\dfrac{1}{6}\right).
On peut représenter un schéma de Bernoulli de paramètres \left(n;p\right) par un arbre pondéré, notamment si le nombre n d'épreuves est assez petit.
Soit l'épreuve de Bernoulli consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On appelle le « succès » l'obtention d'un 6.
On note S l'événement « obtenir un 6 » et \overline{S} l'événement contraire.
En répétant 4 fois cette épreuve de façon identique et indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli de paramètres \left(4;\dfrac{1}{6}\right).
On représente ce schéma de Bernoulli par un arbre pondéré.
Les issues sont identiques dans chacune des 4 épreuves car les épreuves sont identiques.
Comme ces épreuves sont indépendantes, on a dans chacune d'entre elles :
- p(S)=\dfrac{1}{6}
- p(\overline{S})=1-p(S)=\dfrac{5}{6}
Arbre représentant un schéma de Bernoulli de paramètres \left(4;\dfrac{1}{6}\right)
Coefficients binomiaux
Lors d'une succession d'épreuves indépendantes et identiques, il est fréquent de compter le nombre de « succès » obtenus.
Coefficients binomiaux
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres \left(n;p\right).
Pour tout entier naturel k compris entre 0 et n, on appelle coefficient binomial « k parmi n » le nombre de façons d'obtenir exactement k succès sur une suite de n épreuves.
Le coefficient binomial « k parmi n » se note \dbinom{n}{k}.
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres \left(4;\dfrac{1}{6}\right).
Sur l'arbre représentant ce schéma, on dénombre de combien de façons on peut obtenir 2 succès parmi les 4 épreuves.
Chemins réalisant exactement 2 succès parmi les 4 épreuves
Il y a 6 façons de réaliser exactement 2 succès : ce sont les issues (S,S,\overline{S},\overline{S}) ; (S,\overline{S},S, \overline{S}) ; (S,\overline{S},\overline{S},S) ; (\overline{S}, S,S,\overline{S}) ; (\overline{S},S, \overline{S}, S) ; (\overline{S},\overline{S},S,S) .
Le coefficient binomial « 2 parmi 4 » est \dbinom{4}{2}=6.
Propriété de symétrie
Pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel k compris entre 0 et n, on a les égalités suivantes :
\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}
En particulier :
- lorsque k=0 : \dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1 ;
- lorsque k=1 : \dbinom{n}{1}=\dbinom{n}{n-1}=n.
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres \left(10;p\right).
- Le nombre de façons d'obtenir 10 échecs est \dbinom{10}{0}=1.
En effet, il n'y a qu'une façon de réaliser 10 échecs dans la succession de 10 épreuves : chaque épreuve donne un échec.
- Le nombre de façons d'obtenir 9 succès parmi la succession de 10 épreuves est \dbinom{10}{9} =10.
En effet, sur 10 épreuves successives, si on a 9 succès, une seule épreuve réalise un échec. On dénombre de combien de manières une seule épreuve peut être un échec : il y en a autant que du nombre d'épreuves. Il y en a donc 10.
- Le nombre de façons d'obtenir 4 succès est le même que celui d'obtenir 6 succès :
\dbinom{10}{4}=\dbinom{10}{6}
Formule de Pascal
Soient n un entier naturel non nul et k un entier tel que 0\leqslant k\leqslant n-1.
On admet la formule de Pascal suivante :
\dbinom{n+1}{k+1} =\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}
Avec n=4 et k=0 :
\dbinom{5}{1}=\dbinom{4}{0}+\dbinom{4}{1}=1+4=5
La formule de Pascal permet de déterminer « à la main » les coefficients binomiaux \dbinom{n}{k} en construisant le triangle de Pascal représenté ci-dessous.
Dans ce triangle, on considère que n\in\mathbb{N}^{*} et que k est un entier naturel tel que 0\leqslant k\leqslant n.
Tableau de Pascal jusqu'à n=6
Pour construire ce triangle, on remplit d'abord la première colonne et la diagonale avec des 1 puisqu'on sait que, si n\in\mathbb{N}^{*}, alors on a \dbinom{n}{0} =\dbinom{n}{n}=1.
Puis on utilise la formule de Pascal pour compléter ce triangle ligne par ligne.
- Sur la ligne n=2, la formule de Pascal donne avec k=0 :
\textcolor{Red}{\dbinom{2}{0+1} }=\dbinom{1}{0}+\dbinom{1}{0+1}=\dbinom{1}{0}+\dbinom{1}{1}=\textcolor{Red}{2}
Ainsi, le coefficient binomial \dbinom{2}{1} est égal à la somme des deux coefficients de la ligne n=1 situés juste au-dessus et à gauche de \dbinom{2}{1}.
- Sur la ligne n=3, la formule de Pascal donne pour tout entier k tel que 0\leqslant k\leqslant 2 :
\dbinom{3}{k+1} =\dbinom{2}{k}+\dbinom{2}{k+1}
Ainsi un coefficient binomial situé sur cette troisième ligne est égal à la somme des coefficients binomiaux situés à la ligne 2 et placés au-dessus et à gauche de celui cherché.
On a donc :
\textcolor{Green}{\dbinom{3}{1}}=\dbinom{2}{0}+\dbinom{2}{1}=1+2=\textcolor{Green}{3}\\\\\ \textcolor{Blue}{\dbinom{3}{2}}=\dbinom{2}{1}+\dbinom{2}{2}=2+1=\textcolor{Blue}{3}
- Sur la ligne n=4, la formule de Pascal donne pour tout entier k tel que 0\leqslant k\leqslant 3 :
\dbinom{4}{k+1} =\dbinom{3}{k}+\dbinom{3}{k+1}
Comme précédemment, un coefficient binomial de cette ligne s'obtient en ajoutant les deux coefficients de la ligne 3 situés au-dessus et à gauche de celui cherché.
On a donc :
\textcolor{Red}{\dbinom{4}{1}}=\dbinom{3}{0}+\dbinom{3}{1}=1+3=\textcolor{Red}{4}\\\\\textcolor{Green}{\dbinom{4}{2}}=\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}=3+3=\textcolor{Green}{6} \\\\\\\textcolor{Blue}{\dbinom{4}{3}}=\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{3}=3+1=\textcolor{Blue}{4}
On peut ainsi calculer les coefficients binomiaux de proche en proche grâce à ce triangle.
Pour les valeurs de n assez grandes, on utilisera la calculatrice.
Loi binomiale
Dans un schéma de Bernoulli, on s'intéresse à la probabilité d'obtenir un nombre de « succès » donné.
Loi binomiale
Soit n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès sur un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p).
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
On note X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p).
Soit l'épreuve de Bernoulli consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et pour laquelle le succès correspond à l'obtention d'un 6.
En répétant 20 fois cette épreuve de façon indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli de paramètres \left(20;\dfrac{1}{6}\right).
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus lors de cette succession de 20 épreuves de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres 20 et \dfrac{1}{6}.
On note X \hookrightarrow\mathcal{B}\left(20;\dfrac{1}{6}\right).
Expression de la loi binomiale
Soit n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n;p).
Alors pour tout entier k compris entre 0 et n, on a :
P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
Soient n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n;p).
On peut représenter le schéma de Bernoulli par l'arbre suivant dans lequel S représente un succès et \overline{S} un échec :
Soit k un entier compris entre 0 et n.
Sur chaque chemin de l'arbre contenant exactement k succès, on compte k fois la probabilité p et n-k fois la probabilité 1-p.
La probabilité de l'événement correspondant à un tel chemin est donc p^k(1-p)^{n-k}.
Or le nombre de chemins de l'arbre contenant exactement k succès correspond au nombre de parties à k éléments d'un ensemble en contenant n, soit le coefficient binomial \dbinom{n}{k}.
Comme chacun des chemins contenant exactement k succès correspond à un événement incompatible avec les autres, la probabilité d'obtenir k succès est la somme des probabilités des événements correspondant à ces chemins.
On a donc bien :
P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
Espérance d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n;p)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n;p).
Alors son espérance est :
E(X)=np
On lance un dé cubique équilibré à 6 faces. On considère que le succès de cette expérience aléatoire est d'obtenir un 6.
On répète cette expérience 50 fois de manière identique et indépendante.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus sur 50 lancers.
X suit la loi binomiale de paramètres (50;\dfrac{1}{6}).
L'espérance de X est E(X)=np=50\times \dfrac{1}{6}.
Ainsi E(X)=\dfrac{50}{6}=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}3.
En moyenne, on obtient 8 succès sur 50 lancers, si on répète un grand nombre de fois l'expérience des 50 lancers.
Variance et écart type d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n;p).
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n;p).
Alors :
- la variance de X est V(X)=np(1-p) ;
- l'écart type de X est \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres (50;\dfrac{1}{6})
Son écart type est \sigma (X)=\sqrt{50\times \dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}}=\sqrt{\dfrac{250}{36}}.
Ainsi \sigma(X)=\dfrac{5\sqrt{10}}{6}\approx2{,}63.
Soient n un entier naturel non nul et p un réel entre 0 et 1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.
Si l'on représente un diagramme en bâtons constitué en abscisses du nombre de succès possibles et en ordonnées de la probabilité correspondante, on obtient ce type de graphique :
Avec n=50 et p=0{,}3, on obtient :
La loi géométrique
Certaines expériences aléatoires consistent à répéter des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes un nombre indéfini de fois, et jusqu'à ce qu'un certain événement appelé le « succès » se réalise.
Loi géométrique
Soit p un nombre réel tel que 0 \lt p\leqslant1.
On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre p jusqu'à ce que le succès se réalise.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de répétitions nécessaires pour avoir le premier succès.
On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p.
On note X \hookrightarrow\mathcal{G}(p).
On lance une pièce de monnaie truquée. La probabilité d'obtenir « face » est p=\dfrac{1}{3}.
On considère le « succès » comme l'obtention du côté « face » de la pièce. Cette expérience aléatoire est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
On répète cette épreuve jusqu'à obtenir le côté « face ».
Si X est la variable qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir le premier « face », alors X suit la loi géométrique de paramètre p=\dfrac{1}{3}.
On note X \hookrightarrow\mathcal{G}\left(\dfrac{1}{3}\right).
Expression de la loi géométrique de paramètre p
X est une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre p.
Alors, pour tout entier k supérieur ou égal à 1 :
P(X=k)=p\times (1-p)^{k-1}
On lance une pièce de monnaie truquée jusqu'à obtenir le côté « face ». À chaque lancer, la probabilité d'obtenir « face » est p=\dfrac{1}{3}.
Soit X est la variable qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir le premier « face ».
X suit la loi géométrique de paramètre p=\dfrac{1}{3}.
La probabilité d'obtenir « face » pour la première fois au 4e lancer est :
P(X=4)= \dfrac{1}{3} \times (1-\dfrac{1}{3})^{4-1}=\dfrac{1}{3} \times(\dfrac{2}{3})^{3}
Donc :
P(X=4)= \dfrac{8}{81}
On peut représenter par un arbre pondéré l'expérience qui permet d'obtenir « face » au quatrième lancer :
Espérance d'une loi géométrique de paramètre p
X est une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre p.
Alors son espérance est :
E(X)=\dfrac{1}{p}
On lance une pièce de monnaie truquée jusqu'à obtenir le côté « face ». À chaque lancer, la probabilité d'obtenir « face » est p=\dfrac{1}{3}.
X la variable qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir le premier « face » suit la loi géométrique de paramètre p=\dfrac{1}{3}.
L'espérance de X est E(X)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}=3.
Ce qu'on peut interpréter par : en moyenne, trois lancers de cette pièce sont nécessaires pour obtenir le premier « face », si on répète cette expérience un grand nombre de fois.
Soit p un réel tel que 0 \lt p\leqslant1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p.
On représente la répartition de cette loi par un diagramme en bâtons en plaçant :
- en abscisses le nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli jusqu'à obtenir le « succès » ;
- en ordonnées la probabilité correspondante.
On obtient ce type de graphique :
Avec p=\dfrac{1}{3}
Loi sans mémoire
Soit p un réel tel que 0 \lt p\leqslant1.
X est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p, alors :
pour tous les entiers n et k non nuls, la probabilité que X soit supérieur à n+k sachant qu'on a déjà effectué n épreuves sans succès est égale à la probabilité que X soit supérieur à k :
P_{X \gt n}(X \gt n+k)=P(X \gt k)
On dit que la loi géométrique est une loi sans mémoire.
Pierre lance une pièce de monnaie truquée jusqu'à obtenir le côté « face ». À chaque lancer, la probabilité d'obtenir « face » est p=\dfrac{1}{3}.
X la variable qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir le premier « face » suit la loi géométrique de paramètre p=\dfrac{1}{3}.
Pierre a déjà lancé 4 fois la pièce sans succès. Il cherche la probabilité d'obtenir un « face » après le 6e lancer.
Il cherche donc :
P_{X \gt 4}(X \gt 6)
X suit la loi géométrique de paramètre p=\dfrac{1}{3} qui est une loi sans mémoire.
Ainsi P_{X \gt 4}(X \gt 6) =P_{X \gt 4}(X \gt 4+2)=P(X \gt 2).
La probabilité d'obtenir un « face » après la sixième lancer sachant que 4 lancers ont déjà été faits sans succès est la même probabilité que d'obtenir « face » après le 2e lancer.
On a P(X \gt 2)=1- P(X\leqslant2)=1-(P(X=1)+P(X=2)).
Or :
- P(X=1)=\dfrac{1}{3}\times(\dfrac{2}{3})^{0}=\dfrac{1}{3}
- P(X=2)=\dfrac{1}{3}\times(\dfrac{2}{3})^{1}=\dfrac{2}{9}
Ainsi P(X \gt 2)=1- (\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9})=\dfrac{4}{9}.
En conclusion, la probabilité d'obtenir un « face » après le sixième lancer sachant que 4 lancers ont déjà été faits sans succès est P_{X \gt 4}(X \gt 6) =\dfrac{4}{9}.