On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{3x^2+1}}\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right).
Sur quel ensemble f admet-elle des primitives ?
f est définie et continue sur \mathbb{R} comme produit, quotient et composée de fonctions définies et continues sur \mathbb{R}.
f admet donc des primitives sur \mathbb{R}.
On introduit la fonction v définie sur \mathbb{R} par v(x)=3x^2+1.
Comment peut-on exprimer f en fonction de v et v' ?
Tout d'abord, la fonction v est dérivable sur \mathbb{R} comme fonction polynomiale et on a \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 6x.
On cherche le réel a tel que :
f(x) = a \times \dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}\exp\left(\sqrt{v(x)}\right)\\\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{3x^2+1}}\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right) = a \times \dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right)\\\\\Leftrightarrow \dfrac{x \sqrt{3x^2+1}}{x\sqrt{3x^2+1}}\times \dfrac{\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right)}{\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right)} = a \times \dfrac{6}{2}\\\Leftrightarrow\dfrac{6}{2}a=1\\\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{6}\\\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{3}
On peut donc exprimer f en fonction de v et v' :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}\exp\left(\sqrt{v(x)}\right)
Quelle est l'expression des primitives F_k de f sur \mathbb{R} en fonction de k et de v ?
On a montré que \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}\exp\left(\sqrt{v(x)}\right).
Or, on remarque que \dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}} = (\sqrt{v(x)})'.
En notant la fonction u = \sqrt{v}, on remarque que f=\dfrac{1}{3}u'\exp\left(u\right).
D'après le cours, les primitives sur \mathbb{R} de f sont de la forme :
\forall x \in \mathbb{R}, F_k(x) = \dfrac{1}{3}\exp\left(u(x)\right) + k où k est un réel.
On peut donc exprimer les primitives en fonction de v :
\forall x \in \mathbb{R}, F_k(x) = \dfrac{1}{3}\exp\left(\sqrt{v(x)}\right) + k où k est un réel.
Comment exprimer les primitives de f sur \mathbb{R} en fonction de x et de k ?
On a montré que \forall x \in \mathbb{R}, F_k(x) = \dfrac{1}{3}\exp\left(\sqrt{v(x)}\right) + k où k est un réel.
En remplaçant par l'expression de v, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, F_k(x) = \dfrac{1}{3}\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right) + k
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, F_k(x) = \dfrac{1}{3}\exp\left(\sqrt{3x^2+1}\right) + k où k est un réel.