Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \dfrac{1}{x\left( \ln(x) \right)^{2}} ?
On se place sur l'intervalle ]1 ; +\infty[.
Ainsi le dénominateur x\left( \ln\left(x\right) \right)^{2} est défini et non nul.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u^2} .
Ici :
u(x) = \ln{\left(x \right)}
et
u'(x) = \frac{1}{x}
On sait que la dérivée de \dfrac{1}{u} est :
\left( \dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u^2} est -\dfrac{1}{u} .
Ici, une primitive de x \mapsto \frac{1}{x \ln{\left(x \right)}^{2}} ou x\longmapsto \dfrac{\dfrac{1}{x}}{(\ln\left(x\right))^{2}} sera x \mapsto -\frac{1}{\ln{\left(x \right)}} .
Les primitives de f seront donc x \to -\frac{1}{\ln{\left(x \right)}} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels le dénominateur \left( \sin\left(x\right) \right)^{2} est non nul.
On choisit pour ensemble d'étude : \mathbb{R}\backslash\left\{ k\pi \right\} où k\in\mathbb{Z}.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u^2} .
Ici :
u(x) = \sin{\left(x \right)}
et
u'(x) = \cos{\left(x \right)}
On sait que la dérivée de \dfrac{1}{u} est :
\left( \dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u^2} est -\dfrac{1}{u} .
Ici, une primitive de x \mapsto \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} sera x \mapsto -\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} .
Les primitives de f seront donc x \to -\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \frac{4 x}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels le dénominateur \left( 2x^{2} -1\right)^{2} est non nul.
On choisit pour ensemble d'étude : \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right\}.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u^2} .
Ici :
u(x) = 2 x^{2} - 1
et
u'(x) = 4 x
On sait que la dérivée de \dfrac{1}{u} est :
\left( \dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u^2} est -\dfrac{1}{u} .
Ici, une primitive de x \mapsto \frac{4 x}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} sera x \mapsto -\frac{1}{2 x^{2} - 1} .
Les primitives de f seront donc x \to -\frac{1}{2 x^{2} - 1} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \frac{2 x - 8}{\left(x - 4\right)^{4}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels le dénominateur \left( x-4 \right)^{4}\neq0.
On choisit pour ensemble d'étude : \mathbb{R}\backslash\left\{ 4 \right\}.
On cherche à déterminer une primitive d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u^2} .
Ici, avec x\neq4 :
u(x) = \left(x - 4\right)^{2}
et
u'(x) = 2 x - 8
On sait que la dérivée de \dfrac{1}{u} est :
\left( \dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u^2} est -\dfrac{1}{u} .
Ici, une primitive de x \mapsto \frac{2 x - 8}{\left(x - 4\right)^{4}} ou x\longmapsto \dfrac{2x-8}{((x-4)^{2})^{2}} sera x \mapsto -\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}} .
Les primitives de f seront donc x \to -\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}} + C, C \in \mathbb{R} .
Que valent les primitives de la fonction f:x\longmapsto \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} ?
On se place sur l'ensemble des réels x pour lesquels le dénominateur 2x^{\dfrac{3}{2}} est non nul et défini.
On choisit pour ensemble d'étude : ]0;+\infty[.
On cherche à calculer l'intégrale d'une fonction de la forme f = \dfrac{u'}{u^2} .
f(x)=\dfrac{1}{2x^{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{1}{2x\times x^{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\left( \sqrt{x} \right)^{2}} pour x\gt0.
Ici :
u(x) = \sqrt{x}
et
u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
On sait que la dérivée de \dfrac{1}{u} est \left( \dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2} .
Donc une primitive de \dfrac{u'}{u^2} est -\dfrac{1}{u} .
Ici, une primitive de x \mapsto \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} sera x \mapsto -\frac{1}{\sqrt{x}} .
Les primitives de f seront donc x \to -\frac{1}{\sqrt{x}} + C, C \in \mathbb{R} .