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Dernière modification : 27/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Les égalités à trou
Égalité à trou
Une égalité à trou est une égalité dans laquelle il manque un nombre dans un calcul. Le nombre manquant est remplacé par trois petits points.
\dots- 1 = 3\ 999 est une égalité à trou.
Pour compléter une égalité à trou simple, on utilise les propriétés de calcul afin de trouver mentalement le nombre manquant dans l'égalité.
On souhaite compléter l'égalité à trou suivante :
144 + 237 =\dots + 239
On commence par remarquer que :
239=237+2
Compléter l'égalité à trou donnée revient donc à compléter celle-ci :
144 + 237 =\dots + 237+2
Ce qui revient encore à compléter :
144 =\dots + 2
Et compléter cette addition à trou revient à effectuer la soustraction :
144-2
On obtient finalement 142.
On cherche à compléter l'égalité à trou suivante :
24 \times 5 = \dots \times 10
On commence par calculer 24\times5 en utilisant le fait que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à diviser par 2 :
24\times5=24\times10\div2=240\div2=120
Compléter l'égalité à trou donnée revient donc à compléter celle-ci :
120 = \dots \times 10
Ce qui revient à effectuer la division 120 \div 10.
On obtient finalement 12.
Résoudre des problèmes algébriques
En mathématiques, notamment dans un problème, les nombres inconnus peuvent être représentés par des symboles ou par des lettres.
On dispose de crayons tous identiques. On a le résultat suivant :
Quelle est la masse d'un crayon ?
Déterminer la masse d'un crayon revient à déterminer la valeur représentée par un symbole « crayon ».
Bob a choisi un nombre noté n et a effectué le calcul suivant 5 \times n +1. Il a trouvé 56.
Quel est le nombre n qu'il a choisi ?
Ici, déterminer le nombre n que Bob a choisi revient à déterminer la valeur représentée par la lettre n.
Dans un problème, pour trouver la valeur d'un nombre inconnu, on peut se ramener à une égalité à trou que l'on cherche à compléter.
Dans le problème des crayons, le nombre inconnu est représenté par le symbole « crayon ». Ce symbole représente la masse d'un crayon.
Le schéma de la balance indique que 5 crayons pèsent 250 g. Autrement dit, 5 fois la masse d'un crayon est égal à 250 g.
On cherche donc à compléter l'égalité à trou suivante :
5 \times \text{...}=250
On trouve que le nombre manquant est 50 :
5 \times 50=250
On en conclut que la masse d'un crayon est de 50 g.
On peut être amené à résoudre un problème dans lequel plusieurs symboles différents apparaissent.
On dispose de paires de ciseaux toutes identiques et de crayons tous identiques.
On dispose des résultats suivants issus de deux pesées :
Quelle est la masse d'une paire de ciseaux ? Quelle est la masse d'un crayon ?
Dans ce problème, on a deux symboles : celui de la paire de ciseaux et celui du crayon. On veut déterminer la valeur de chaque symbole. On procède donc en plusieurs étapes.
On détermine la masse d'une paire de ciseaux en utilisant la seconde pesée.
Deux paires de ciseaux pèsent 240 g. On doit donc compléter l'égalité à trou :
2\times \dots=240
On obtient la masse d'une paire de ciseaux en effectuant la division :
240 \div2
On trouve 120 g.
On utilise le résultat obtenu dans la première pesée
Deux crayons plus 360 g pèsent 460 g.
On obtient l'égalité à trou :
2\times \dots+360=460
On détermine d'abord le nombre manquant dans \dots+360=460. C'est le nombre 460-360=100.
Puis on détermine le nombre manquant dans 2\times \dots=100. C'est le nombre 50.
On obtient la masse d'un crayon : 50 g.
Pour résoudre un problème dans lequel il faut trouver la valeur d'un nombre inconnu, on peut utiliser un schéma en barres.
Dans un paquet de billes rouges, vertes et bleues, il y a 179 billes. Il y a quatre fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 17 billes vertes de moins que de billes bleues.
Combien y a-t-il de billes de chaque couleur ?
On réalise un schéma en barres
On calcule le nombre de billes vertes
Étape 1 : le nombre de billes vertes
On commence par déterminer le nombre de billes vertes, c'est-à-dire la valeur représentée dans un petit rectangle.
Six petits rectangles plus 17 représentent 179 billes.
On complète donc l'égalité à trou :
6\times \dots +17=179
On complète d'abord : \dots +17=179. On obtient : 179-17=162.
Puis on complète : 6\times \dots=162. On obtient : 162\div6=27.
On en conclut qu'il y a 27 billes vertes.
On calcule le nombre de billes rouges
Le nombre de billes rouges est égal à :
27\times4=108
On calcule le nombre de billes bleues
Le nombre de billes bleues est égal à :
27+17=44
Exécuter ou produire un programme de calcul
Programme de calcul
Un programme de calcul est une suite d'instructions de calculs élémentaires.
Voici un programme de calcul :
- Choisir un nombre entier.
- Ajouter 2 au nombre choisi.
- Multiplier le résultat trouvé à l'étape précédente par 4.
- Retirer 3 au nombre obtenu à l'étape précédente.
- Écrire le nombre obtenu.
Lorsque l'on fait fonctionner un programme de calcul, on dit que l'on exécute ce programme.
Voici ce que l'on obtient quand on exécute le programme de calcul précédent en choisissant 5 comme nombre de départ :
- Nombre de départ : 5.
- 5+2=7
- 7\times4=28
- 28-3=25
- Résultat obtenu : 25.
Lorsque l'on écrit un programme de calcul, et éventuellement qu'on le code avec un logiciel de programmation, on dit que l'on produit un programme de calcul.
Lila a choisi un nombre entier noté n et a effectué le calcul suivant 8 \times n +3. On souhaite écrire un programme de calcul permettant d'effectuer ce calcul. On peut par exemple écrire ce programme :
- Choisir un nombre entier.
- Multiplier le nombre choisi par 8.
- Ajouter 3 au nombre obtenu à l'étape précédente.
- Écrire le nombre obtenu.
Et on peut coder ce programme de calcul avec Scratch de la manière suivante :
On peut vérifier que si l'on on choisit 9 comme nombre au départ, on obtient 75 comme nombre à la fin.
Suite de nombres
Suite de nombres
Une suite de nombres est une succession de nombres construite à partir d'une règle.
Voici la suite de nombres construite à partir de la règle suivante :
- On commence à 3.
- On ajoute 4.
- Puis on ajoute 5.
- Puis on ajoute 6.
- Etc.
Pour certaines suites, plusieurs « règles » de calcul peuvent être trouvées.
Pour la suite 1 ; 2 ; 6 ; 7 ; 11 ; 12 ; 16…, on peut proposer les deux règles de calcul suivantes :
Prendre le double du nombre et ajouter 1 pour trouver le nombre au rang suivant.
Ajouter successivement 8, puis le double de 8, puis le double du double de 8, etc.
Dans le cas d'une suite pour laquelle un même nombre est ajouté à chaque étape, on peut déterminer la valeur d'un terme de rang éloigné.
Par exemple, pour la suite « 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; etc. », on peut déterminer le 100e nombre de la suite en reconnaissant une relation entre le rang d'un terme et sa valeur.
On peut visualiser et organiser les calculs dans un tableau :
Suite de motifs évolutive
Suite de motifs évolutive
Une suite de motifs évolutive est une succession de motifs construite à partir d'une règle qui permet de faire évoluer le motif au fur et à mesure.
Voici une suite de motifs évolutive :
L'élément de base d'un motif est un téléphone. On peut observer que :
- le motif de l'étape 1 est constitué d'une ligne de 2 téléphones ;
- pour passer d'une étape à la suivante, on ajoute en dessous une ligne de trois téléphones.
Ainsi, à chaque étape, le nombre de téléphones est égal au nombre de téléphones de l'étape précédente plus trois.
Dans une suite de motifs évolutive, on est souvent amené à observer le nombre d'éléments du motif qui évolue d'une étape à la suivante et à formuler une relation entre le nombre d'éléments à une étape donnée et le nombre d'éléments à l'étape précédente.
Dans la suite évolutive précédente, le nombre de téléphones est égal au nombre de téléphones de l'étape précédente plus trois.
On considère la suite de motifs évolutive suivante :
L'élément de base d'un motif est un petit rond. On peut observer que :
- le motif de l'étape 1 est constitué d'un petit rond ;
- pour passer d'une étape à la suivante, on ajoute au-dessus une ligne de petits ronds qui comporte un nombre de petits ronds égal au numéro de l'étape.
Ainsi, à chaque étape, le nombre de petits ronds est égal au nombre de petits ronds de l'étape précédente plus le nombre de petits ronds égal au numéro de l'étape.
Dans une suite de motifs évolutive, on est également souvent amené à formuler une relation entre le nombre d'éléments à une étape donnée et le rang de l'étape.
Dans la suite évolutive composée de téléphones :
On peut formuler un lien entre le nombre de téléphones à une étape et le rang de l'étape et visualiser ce lien dans un tableau.
Dans la suite évolutive composée de petits carrés suivante :
On peut formuler un lien entre le nombre de petits carrés à une étape et le rang de l'étape et visualiser ce lien dans un tableau.
