Sommaire
IAdditionner et soustraire des nombres relatifsIIMultiplier et diviser des nombres relatifsIIIPriorités opératoires Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 20/07/2021 - Conforme au programme 2020-2021
Additionner et soustraire des nombres relatifs
- La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces nombres.
- La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe « - ».
- La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.
5+2=7
\left(-2\right)+\left(-3\right)=-\left(2+3\right)=-5
2+\left(-3\right)=-\left(3-2\right)=-1
La somme de deux nombres opposés est égale à 0.
5+\left(-5\right)=0
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.
10-7=10+\left(-7\right)=3
Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle :
- Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un « + ».
- Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un « - ».
5+\left(-2\right)-\left(-3\right)+\left(+4\right)=5-2+3+4=10
Pour calculer une séquence d'additions et soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire.
Multiplier et diviser des nombres relatifs
Le produit de deux nombres de même signe est positif.
4 \times 6 = 24
\left(-4\right) \times \left(-6\right) = 24
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
\left(-4\right) \times 6 = -24
4 \times \left(-6\right) = -24
Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs, on détermine son signe, puis on multiplie les distances à zéro. Autrement dit, on détermine son signe, puis on multiplie les nombres sans les signes.
On souhaite calculer le produit suivant :
2{,}5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)
Ce produit comporte un terme positif et deux terme négatifs, il est donc positif. On peut le calculer :
2{,}5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=2{,}5\times1\times2=5
Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre son opposé.
Une multiplication comportant un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.
Le calcul suivant comporte deux facteurs négatifs, le produit est donc positif :
\left(-3\right) \times 5 \times \left(-4\right) = 60
Une multiplication comportant un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.
Le calcul suivant comporte trois nombres négatifs, le produit est donc négatif :
\left(-2\right) \times \left(-4\right) \times 3 \times \left(-10\right) = -240
Quotient
Soient a et b deux nombres relatifs avec b\neq0. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a :
\dfrac{a}{b}\times b=a
Le quotient de deux nombres de même signe est positif.
\dfrac{6}{2} = 3
\dfrac{-6}{-2} = 3
Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
\dfrac{-6}{2} = -3
\dfrac{6}{-2} = -3
Pour calculer un quotient de deux nombres relatifs, on détermine son signe, puis on divise les distances à zéro.
Inverse d'un nombre
L'inverse d'un nombre non nul est égal à la division de 1 par ce nombre. L'inverse d'un nombre x se note x^{-1}.
\dfrac17 est l'inverse de 7.
2 est l'inverse de \dfrac12.
Sur la calculatrice pour calculer un inverse on peut utiliser les touches ^-1 ou la touche \dfrac{1}{x}.
Pour calculer l'inverse de 4, on tape : 4^-1. Le résultat est alors 0,25, car 1\div4=0{,}25.
Il ne faut pas confondre inverse et opposé.
L'inverse de (-6) est \dfrac{-1}{6} alors que l'opposé de (-6) est (+6).
Soient a et b des nombres relatifs avec b\neq0. Alors :
\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}
\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}
\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}
\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}
Priorités opératoires
Si un calcul ne comporte que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.
2{,}5\times4{,}2\div2=10{,}5\div2=5{,}25
Si un calcul ne comporte que des additions ou des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.
3{,}2+6{,}7-8+4{,}1=9{,}9-8+4{,}1=1{,}9+4{,}1=6
Dans un calcul écrit sans parenthèses, on effectue dans l'ordre :
- les multiplications et les divisions ;
- les additions et les soustractions.
3+5\times2-1=3+10-1=12
Même si la multiplication ou la division se trouve après une addition ou soustraction, on doit l'effectuer en priorité s'il n'y a pas de parenthèses.
Les parenthèses servent à indiquer qu'un calcul est prioritaire : il doit donc être effectué en premier.
3\times\left(2+5\right)-4=3\times7-4=21-4=17