Calculs numériquesCours

I

Additionner et soustraire des nombres relatifs

  • La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces nombres.
  • La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe « - ».
  • La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.

5+2=7

\left(-2\right)+\left(-3\right)=-\left(2+3\right)=-5

2+\left(-3\right)=-\left(3-2\right)=-1

La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

5+\left(-5\right)=0

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.

10-7=10+\left(-7\right)=3

Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle :

  • Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un « + ».
  • Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un « - ».

5+\left(-2\right)-\left(-3\right)+\left(+4\right)=5-2+3+4=10

Pour calculer une séquence d'additions et soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire.

II

Multiplier et diviser des nombres relatifs

Le produit de deux nombres de même signe est positif.

4 \times 6 = 24

\left(-4\right) \times \left(-6\right) = 24

Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

\left(-4\right) \times 6 = -24

4 \times \left(-6\right) = -24

Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs, on détermine son signe, puis on multiplie les distances à zéro. Autrement dit, on détermine son signe, puis on multiplie les nombres sans les signes.

On souhaite calculer le produit suivant :

2{,}5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)

Ce produit comporte un terme positif et deux terme négatifs, il est donc positif. On peut le calculer :

2{,}5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=2{,}5\times1\times2=5

Multiplier un nombre par (−1) revient à prendre son opposé.

\left(-1\right) \times 5 = -5

Une multiplication comportant un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.

Le calcul suivant comporte deux facteurs négatifs, le produit est donc positif :

\left(-3\right) \times 5 \times \left(-4\right) = 60

Une multiplication comportant un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.

Le calcul suivant comporte trois nombres négatifs, le produit est donc négatif :

\left(-2\right) \times \left(-4\right) \times 3 \times \left(-10\right) = -240

Quotient

Soient a et b deux nombres relatifs avec b\neq0. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a  :

\dfrac{a}{b}\times b=a

Le quotient de deux nombres de même signe est positif.

\dfrac{6}{2} = 3

\dfrac{-6}{-2} = 3

Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

\dfrac{-6}{2} = -3

\dfrac{6}{-2} = -3

Pour calculer un quotient de deux nombres relatifs, on détermine son signe, puis on divise les distances à zéro.

Inverse d'un nombre

L'inverse d'un nombre non nul est égal à la division de 1 par ce nombre. L'inverse d'un nombre x  se note x^{-1}.

\dfrac17 est l'inverse de 7.

2 est l'inverse de \dfrac12.

Sur la calculatrice pour calculer un inverse on peut utiliser les touches ^−1 ou la touche \dfrac{1}{x}.

Pour calculer l'inverse de 4, on tape : 4^−1. Le résultat est alors 0,25, car 1\div4=0{,}25.

Il ne faut pas confondre inverse et opposé.

L'inverse de (−6) est \dfrac{-1}{6} alors que l'opposé de (−6) est (+6).

Soient a et b des nombres relatifs avec b\neq0. Alors :

\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}

\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}

\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}

\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}

III

Priorités opératoires

Si un calcul ne comporte que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.

2{,}5\times4{,}2\div2=10{,}5\div2=5{,}25

Si un calcul ne comporte que des additions ou des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.

3{,}2+6{,}7-8+4{,}1=9{,}9-8+4{,}1=1{,}9+4{,}1=6

Dans un calcul écrit sans parenthèses, on effectue dans l'ordre :

  • les multiplications et les divisions ;
  • les additions et les soustractions.

3+5\times2-1=3+10-1=12

Même si la multiplication ou la division se trouve après une addition ou soustraction, on doit l'effectuer en priorité s'il n'y a pas de parenthèses.

Les parenthèses servent à indiquer qu'un calcul est prioritaire : il doit donc être effectué en premier.

3\times\left(2+5\right)-4=3\times7-4=21-4=17

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