Sommaire
IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeCLe signe d'une fonctionIIComportementALe sens de variationBLes majorants et les minorantsCLes extremums (ou extrema)Existence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
La fonction f\left(x\right)=3x^2+1 est définie sur \mathbb{R} alors que la fonction f\left(x\right)=\dfrac1x est définie sur \mathbb{R}^* car la division par 0 n'existe pas.
La courbe représentative
Courbe représentative
La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.
Le signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq0
Quel que soit le réel x, la fonction f\left(x\right)=x^2 est positive car x^2\geq0.
Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq 0
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-x^2 est négative car, quel que soit le réel x, -x^2\leq0.
Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle [0 ; 2].
Comportement
Le sens de variation
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \leq f\left(y\right)
Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante
Fonction décroissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \geq f\left(y\right)
Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Fonction constante
Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) = a
Allure de la courbe représentative d'une fonction constante
Les majorants et les minorants
Majorant
Le réel M est un majorant de la fonction f (ou f est majorée par M ) sur l'intervalle I, si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq M
Pour tout nombre réel, la fonction f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)^2+4 est majorée par 4, car f\left(x\right)\leq4.
Minorant
Le réel m est un minorant de la fonction f (ou f est minorée par m ) sur l'intervalle I, si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq m
Pour tout nombre réel, la fonction f\left(x\right)=x^2 est telle que f\left(x\right)\geq-8. Donc −8 est un minorant de f.
Il existe d'autres minorants pour cette fonction f.
Les extremums (ou extrema)
Maximum
Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint en x=1,25.
Minimum
Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 2]. Le minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0,75.
Un extremum est un maximum ou un minimum.
- Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I, s'il existe, est un majorant M qui est atteint par f : il existe un réel x_{0} tel que f\left(x_{0}\right) = M. Le maximum de f sur I est donc le plus petit majorant de f sur I, s'il existe.
- Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I, s'il existe, est un minorant m qui est atteint par f : il existe un réel x_{0} tel que f\left(x_{0}\right) = m. Le minimum de f sur I est donc le plus grand minorant de f sur I, s'il existe.