Généralités sur les fonctions Cours

Sommaire

IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeCLe signe d'une fonctionIIComportementALe sens de variationBLes majorants et les minorantsCLes extremums (ou extrema)
I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.

La fonction f\left(x\right)=3x^2+1 est définie sur \mathbb{R} alors que la fonction f\left(x\right)=\dfrac1x est définie sur \mathbb{R}^* car la division par 0 n'existe pas.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

-
C

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \geq0

Quel que soit le réel x, la fonction f\left(x\right)=x^2 est positive car x^2\geq0.

Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle [0 ; 2].

-

Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \leq 0

La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-x^2 est négative car, quel que soit le réel x, -x^2\leq0.

Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle [0 ; 2].

-
II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \leq f\left(y\right)

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \geq f\left(y\right)

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante

Fonction strictement croissante

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \lt f\left(y\right)

Fonction strictement décroissante

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \gt f\left(y\right)

Fonction constante

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) = a

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction constante
B

Les majorants et les minorants

Majorant

Le réel M est un majorant de la fonction f (ou f est majorée par M ) sur l'intervalle I, si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \leq M

Pour tout nombre réel, la fonction f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)^2+4 est majorée par 4, car f\left(x\right)\leq4.

Minorant

Le réel m est un minorant de la fonction f (ou f est minorée par m ) sur l'intervalle I, si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \geq m

Pour tout nombre réel, la fonction f\left(x\right)=x^2 est telle que f\left(x\right)\geq-8. Donc −8 est un minorant de f.

Il existe d'autres minorants pour cette fonction f.

C

Les extremums (ou extrema)

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint en x=1,25.

-

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 2]. Le minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0,75.

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

  • Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I, s'il existe, est un majorant M qui est atteint par f : il existe un réel x_{0} tel que f\left(x_{0}\right) = M. Le maximum de f sur I est donc le plus petit majorant de f sur I, s'il existe.
  • Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I, s'il existe, est un minorant m qui est atteint par f : il existe un réel x_{0} tel que f\left(x_{0}\right) = m. Le minimum de f sur I est donc le plus grand minorant de f sur I, s'il existe.