Sommaire
IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeCLe signe d'une fonctionIIComportementALe sens de variationBLes majorants et les minorantsCLes extremums (ou extrema)Existence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
La fonction f\left(x\right)=3x^2+1 est définie sur \mathbb{R} alors que la fonction f\left(x\right)=\dfrac1x est définie sur \mathbb{R}^* car la division par 0 n'existe pas.
Le signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq0
Quel que soit le réel x, la fonction f\left(x\right)=x^2 est positive car x^2\geq0.
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq 0
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-x^2 est négative car, quel que soit le réel x, -x^2\leq0.
Comportement
Le sens de variation
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Les majorants et les minorants
Majorant
Le réel M est un majorant de la fonction f (ou f est majorée par M ) sur l'intervalle I, si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq M
Pour tout nombre réel, la fonction f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)^2+4 est majorée par 4, car f\left(x\right)\leq4.
Minorant
Le réel m est un minorant de la fonction f (ou f est minorée par m ) sur l'intervalle I, si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq m
Pour tout nombre réel, la fonction f\left(x\right)=x^2 est telle que f\left(x\right)\geq-8. Donc -8 est un minorant de f.
Il existe d'autres minorants pour cette fonction f.
Les extremums (ou extrema)
Un extremum est un maximum ou un minimum.
- Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I, s'il existe, est un majorant M qui est atteint par f : il existe un réel x_{0} tel que f\left(x_{0}\right) = M. Le maximum de f sur I est donc le plus petit majorant de f sur I, s'il existe.
- Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I, s'il existe, est un minorant m qui est atteint par f : il existe un réel x_{0} tel que f\left(x_{0}\right) = m. Le minimum de f sur I est donc le plus grand minorant de f sur I, s'il existe.