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Généralités sur les fonctions Cours

I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition \(\displaystyle{D_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) est l'ensemble des réels \(\displaystyle{x}\) pour lesquels \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe.

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^2+1}\) est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) alors que la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac1x}\) est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^*}\) car la division par 0 n'existe pas.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\), pour tous les réels \(\displaystyle{x}\) du domaine de définition de \(\displaystyle{f}\).

-
C

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq0}\)

Quel que soit le réel x, la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) est positive car \(\displaystyle{x^2\geq0}\).

Une fonction est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle [0 ; 2].

-

Fonction négative

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq 0}\)

La fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-x^2}\) est négative car, quel que soit le réel \(\displaystyle{x}\), \(\displaystyle{-x^2\leq0}\).

Une fonction est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle [0 ; 2].

-
II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est croissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq f\left(y\right)}\)

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction croissante

Fonction décroissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq f\left(y\right)}\)

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction décroissante

Fonction strictement croissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \lt f\left(y\right)}\)

Fonction strictement décroissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \gt f\left(y\right)}\)

Fonction constante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est constante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\) et s'il existe un réel \(\displaystyle{a}\) tel que, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = a}\)

-
Allure de la courbe représentative d'une fonction constante
B

Les majorants et les minorants

Majorant

Le réel \(\displaystyle{M}\) est un majorant de la fonction \(\displaystyle{f}\) (ou \(\displaystyle{f}\) est majorée par \(\displaystyle{M}\) ) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq M}\)

Pour tout nombre réel, la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=-2\left(x-1\right)^2+4}\) est majorée par 4, car \(\displaystyle{f\left(x\right)\leq4}\).

Minorant

Le réel \(\displaystyle{m}\) est un minorant de la fonction \(\displaystyle{f}\) (ou \(\displaystyle{f}\) est minorée par \(\displaystyle{m}\) ) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq m}\)

Pour tout nombre réel, la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) est telle que \(\displaystyle{f\left(x\right)\geq-8}\). Donc −8 est un minorant de \(\displaystyle{f}\).

Il existe d'autres minorants pour cette fonction \(f\).

C

Les extremums (ou extrema)

Maximum

Le maximum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) est le plus grand réel \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{I}\), s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 2]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint en \(\displaystyle{x=1,25}\).

-

Minimum

Le minimum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\) est le plus petit réel \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{I}\), s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 2]. Le minimum vaut 0,25 et est atteint pour \(\displaystyle{x=0,75}\).

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

  • Le maximum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), s'il existe, est un majorant \(\displaystyle{M}\) qui est atteint par \(\displaystyle{f}\) : il existe un réel \(\displaystyle{x_{0}}\) tel que \(\displaystyle{f\left(x_{0}\right) = M}\). Le maximum de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\) est donc le plus petit majorant de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\), s'il existe.
  • Le minimum de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), s'il existe, est un minorant \(\displaystyle{m}\) qui est atteint par \(\displaystyle{f}\) : il existe un réel \(\displaystyle{x_{0}}\) tel que \(\displaystyle{f\left(x_{0}\right) = m}\). Le minimum de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\) est donc le plus grand minorant de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{I}\), s'il existe.