Quel est le sens de variation sur l'intervalle \left]-\infty;3\right[ de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{5x-3}{-2x+6}
On pose x et x' deux réels tels que x \lt x' \lt 3
Pour déterminer le sens de variation f, on peut chercher le signe de f\left(x\right)-f\left(x'\right).
\begin{aligned}f\left(x\right)-f\left(x'\right)&=\dfrac{5x-3}{-2x+6}-\dfrac{5x'-3}{-2x'+6} \\ &= \dfrac{\left(5x-3\right)\left(-2x'+6\right)-\left(5x'-3\right)\left(-2x+6\right)}{\left(-2x+6\right)\left(-2x'+6\right)} \\ &= \dfrac{-10xx'+30x+6x'-18-\left(-10xx'+30x'+6x-18\right)}{\left(-2x+6\right)\left(-2x'+6\right)}\\ &= \dfrac{-10xx'+30x+6x'-18+10xx'-30x'-6x+18}{\left(-2x+6\right)\left(-2x'+6\right)} \\ &= \dfrac{24x-24x'}{\left(-2x+6\right)\left(-2x'+6\right)} \\ &= \dfrac{24\left(x-x'\right)}{\left(-2x+6\right)\left(-2x'+6\right)}\end{aligned}
Comme on a x \lt x' \lt 3, on en déduit : \begin{cases} 24\left(x-x'\right)\lt0 \cr \cr -2x+6\gt0 \cr \cr -2x'+6\gt0 \end{cases}
Donc f\left(x\right)-f\left(x'\right)\lt0
Ainsi si x \lt x' \lt 3 alors f\left(x\right)-f\left(x'\right)\lt0
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle \left]-\infty;3 \right[
Quel est le sens de variation sur l'intervalle \left]-\dfrac{1}{4};+\infty\right[ de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{-3+x}{-2-8x}
On pose x et x' deux réels tels que -\dfrac{1}{4} \lt x \lt x^{'}.
Pour déterminer le sens de variation f, on peut chercher le signe de f\left(x\right)-f\left(x'\right).
\begin{aligned}f\left(x\right)-f\left(x'\right)&=\dfrac{-3+x}{-2-8x}-\dfrac{-3+x'}{-2-8x'} \\ &= \dfrac{\left(-3+x\right)\left(-2-8x'\right)-\left(-3+x'\right)\left(-2-8x\right)}{\left(-2-8x\right)\left(-2-8x'\right)} \\&= \dfrac{6+24x'-2x-8xx'-\left(6+24x-2x'-8xx'\right)}{\left(-2-8x\right)\left(-2-8x'\right)} \\ &= \dfrac{6+24x'-2x-8xx'-6-24x+2x'+8xx'}{\left(-2-8x\right)\left(-2-8x'\right)} \\ &= \dfrac{26x'-26x}{\left(-2-8x\right)\left(-2-8x'\right)} \\ &= \dfrac{26\left(x'-x\right)}{\left(-2-8x\right)\left(-2-8x'\right)}\end{aligned}
Comme on a -\dfrac{1}{4}\lt x\lt x', on en déduit : \begin{cases} 26\left(x'-x\right)\gt0 \cr \cr -2-8x\lt0 \cr \cr -2-8x'\lt0 \end{cases}
Donc f\left(x\right)-f\left(x'\right)\gt0
Ainsi, si -\dfrac{1}{4}\lt x\lt x', alors f\left(x\right)-f\left(x'\right)\gt0
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle \left]-\dfrac{1}{4};+\infty \right[
Quel est le sens de variation sur l'intervalle \left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[ de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{-2}{3+6x}+4
On pose x et x' deux réels tels que -\dfrac{1}{2}\lt x\lt x'
Pour déterminer le sens de variation f, on peut chercher le signe de f\left(x\right)-f\left(x'\right).
\begin{aligned}f\left(x\right)-f\left(x'\right)&=\dfrac{-2}{3+6x}+4-\left(\dfrac{-2}{3+6x'}+4\right)\\ &=\dfrac{-2}{3+6x}-\dfrac{-2}{3+6x'} \\ &= \dfrac{-2\left(3+6x'\right)-\left(-2\left(3+6x\right)\right)}{\left(3+6x\right)\left(3+6x'\right)} \\&= \dfrac{-6-12x'-\left(-6-12x\right)}{\left(3+6x\right)\left(3+6x'\right)} \\ &= \dfrac{-12x'+12x}{\left(3+6x\right)\left(3+6x'\right)} \\ &= \dfrac{12\left(-x'+x\right)}{\left(3+6x\right)\left(3+6x'\right)}\end{aligned}
Comme on a -\dfrac{1}{2}\lt x\lt x', on en déduit : \begin{cases} 12\left(-x'+x\right)\lt0 \cr \cr 3+6x\gt0 \cr \cr 3+6x'\gt0 \end{cases}
Donc f\left(x\right)-f\left(x'\right)\lt0
Ainsi si -\dfrac{1}{2}\lt x\lt x' alors f\left(x\right)-f\left(x'\right)\lt0
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle \left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[
Quel est le sens de variation sur l'intervalle \left]-3;+\infty\right[ de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{7-3x}{x+3}
On pose x et x' deux réels tels que -3 \lt x \lt x'
Pour déterminer le sens de variation f, on peut chercher le signe de f\left(x\right)-f\left(x'\right).
\begin{aligned}f\left(x\right)-f\left(x'\right)&=\dfrac{7-3x}{x+3}-\dfrac{7-3x'}{x'+3} \\ &= \dfrac{\left(7-3x\right)\left(x'+3\right)-\left(7-3x'\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x'+3\right)} \\ &= \dfrac{7x'+21-3xx'-9x-\left(7x+21-3xx'-9x'\right)}{\left(x+3\right)\left(x'+3\right)} \\&= \dfrac{7x'+21-3xx'-9x-7x-21+3xx'+9x'}{\left(x+3\right)\left(x'+3\right)} \\ &= \dfrac{16x'-16x}{\left(x+3\right)\left(x'+3\right)} \\ &= \dfrac{16\left(x'-x\right)}{\left(x+3\right)\left(x'+3\right)}\end{aligned}
Comme on a -3 \lt x \lt x', on en déduit : \begin{cases} 16\left(x'-x\right)\gt0 \cr \cr x+3\gt0 \cr \cr x'+3\gt0 \end{cases}
Donc f\left(x\right)-f\left(x'\right)\gt0
Ainsi si -3 \lt x \lt x' alors f\left(x\right)-f\left(x'\right)\gt0
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle \left]-3;+\infty \right[
Quel est le sens de variation de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{-2-x}{x+1}
Quel est le sens de variation sur l'intervalle \left]-\infty;2\right[ de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{3x+4}{x-2}
On pose x et x' deux réels tels que x \lt x' \lt 2
Pour déterminer le sens de variation f, on peut chercher le signe de f\left(x\right)-f\left(x'\right).
f\left(x\right)-f\left(x'\right)=\dfrac{3x+4}{x-2}-\dfrac{3x'+4}{x'-2}
f\left(x\right)-f\left(x'\right)= \dfrac{\left(3x+4\right)\left(x'-2\right)-\left(3x'+4\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x'-2\right)}
f\left(x\right)-f\left(x'\right)= \dfrac{3xx'-6x+4x'-8-\left(3xx'-6x'+4x-8\right)}{\left(x-2\right)\left(x'-2\right)}
f\left(x\right)-f\left(x'\right)= \dfrac{3xx'-6x+4x'-8-3xx'+6x'-4x+8}{\left(x-2\right)\left(x'-2\right)}
f\left(x\right)-f\left(x'\right) = \dfrac{-10x+10x'}{\left(x-2\right)\left(x'-2\right)}
f\left(x\right)-f\left(x'\right)= \dfrac{10\left(-x+x'\right)}{\left(x-2\right)\left(x'-2\right)}
Comme on a x \lt x' \lt 2, on en déduit : \begin{cases} -x+x'\gt0 \cr \cr x-2\lt0 \cr \cr x'-2\lt0 \end{cases}
Donc f\left(x\right)-f\left(x'\right)\gt0
Ainsi si x \lt x' \lt 2 alors f\left(x\right)-f\left(x'\right)\gt0
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle \left]-\infty;2 \right[