On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=5-4x^2\left(x-3\right)^2
Quelle proposition montre que f est majorée sur \mathbb{R} ?
On remarque que pour tout x\in\mathbb{R} :
-4x^2\left(x-3\right)^2\leqslant0, car un carré est toujours positif ou nul.
En ajoutant 5 à chaque membre on obtient :
5-4x^2\left(x-3\right)^2\leqslant5
Ainsi, pour tout réel x :
f\left(x\right)\leqslant5
Donc 5 est un majorant de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition en déduit correctement que f admet un maximum sur \mathbb{R} ?
5 étant un majorant de f. On vérifie que 5 est également maximum. 5 est le maximum de f si et seulement s'il existe un réel x tel que f\left(x\right)=5.
On résout donc sur \mathbb{R} l'équation f\left(x\right)=5 :
f\left(x\right)=5
\Leftrightarrow5-4x^2\left(x-3\right)\,^2=5
\Leftrightarrow-4x^2\left(x-3\right)\,^2=0
Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul.
-4x^2\left(x-3\right)^2=0
\Leftrightarrow4x^2=0\text{ ou }\left(x-3\right)\,^2=0
\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=3
Donc f admet un maximum sur \mathbb{R}. Ce maximum est 5 et il est atteint en 0 et 3.