Etudier le sens de variation d'une fonction Méthode

Sommaire

1Poser a et b 2Comparer f\left(a\right) et f\left(b\right) 3Conclure sur les variations de f

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f\left( a \right) et f\left( b \right)a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\lt b.

Soit f la fonction définie sur \left[ 1;+\infty \right[ pour tout x de \left[ 1;+\infty \right[ par :

f\left( x \right)=x^2+x+1

Donner le sens de variation de f sur \left[ 1;+\infty \right[.

Etape 1

Poser a et b

On pose a et b deux réels de l'intervalle I vérifiant a\lt b.

Soient a et b deux réels de \left[ 1;+\infty \right[ vérifiant a\lt b.

Etape 2

Comparer f\left(a\right) et f\left(b\right)

On compare les valeurs de f\left( a \right) et f\left( b \right), si besoin en déterminant le signe de la différence f\left( b \right)-f\left( a \right).

On a :

  • f\left( a \right)=a^2+a+1
  • f\left( b \right)=b^2+b+1

Donc :

f\left( b \right)-f\left( a \right)=b^2+b+1-\left(a^2+a+1\right)=b^2+b+1-a^2-a-1

f\left( b \right)-f\left( a \right)=\left(b^2-a^2\right)+\left(b-a\right)

Or, on a :

  • b-a\gt 0 car a\lt b
  • b^2-a^2\gt 0 car 1\leqslant a\lt b et la fonction carrée est strictement croissante sur \left[ 0;+\infty \right[, donc sur \left[ 1;+\infty \right[.

Donc, finalement, on peut en déduire :

f\left( b \right)-f\left( a \right) \gt 0

Etape 3

Conclure sur les variations de f

  • Si f\left( a \right)\lt f\left( b \right), f est strictement croissante sur I.
  • Si f\left( a \right)\leqslant f\left( b \right), f est croissante sur I.
  • Si f\left( a \right) \gt f\left( b \right), f est strictement décroissante sur I.
  • Si f\left( a \right) \geqslant f\left( b \right), f est décroissante sur I.

Si a et b sont deux éléments de \left[ 1;+\infty \right[ vérifiant a\lt b, alors f\left( a \right)\lt f\left( b \right).

On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur \left[ 1;+\infty \right[.