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Dernière modification : 24/09/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Le principe de proportionnalité
Grandeur
Une grandeur est une quantité que l'on peut mesurer ou repérer à l'aide d'une unité de mesure.
Les distances, les vitesses, les températures ou encore les prix sont des grandeurs.
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont dites proportionnelles quand elles varient dans les mêmes proportions.
Autrement dit, si les valeurs de l'une des quantités sont multipliées (ou divisées) par un même nombre, alors les valeurs de l'autre sont multipliées (ou divisées) par ce même nombre.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02 €. S'il en achète 5, il devra payer 5 fois plus cher, c'est-à-dire, 5 \times 1{,}02 = 5{,}10\text{ €}. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Pour faire un gâteau pour 12 personnes, il faut 300 g de farine.
Pour faire un gâteau pour 3 personnes, c'est-à-dire 4 fois moins de personnes, il faut 4 fois moins de farine, à savoir 300\div4=75 g de farine.
La masse de farine est proportionnelle au nombre de personnes.
Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.
La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci. Par exemple, si un garçon mesure 1,70 m à 17 ans et mesure 1,75 m à 30 ans :
- À 17 ans, en multipliant 17 par 0,1, on obtient la taille en mètres.
- À 30 ans, en multipliant par 0,1, on obtient 3, ce qui ne peut être la taille de cette personne à 30 ans.
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul (c'est-à-dire différent de 0).
Si au marché des tomates sont vendues 2,80 € le kilogramme, alors pour connaître le prix d'une certaine masse de tomates, on multiplie la masse exprimée en kilogramme par 2,80.
Le prix de 3,5 kg de ces tomates est égal, en euros, à :
3{,}5\times2{,}8=9{,}8
Coefficient de proportionnalité
Soient deux grandeurs proportionnelles. Le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une des grandeurs pour obtenir l'autre est appelé « coefficient de proportionnalité ».
Dans l'exemple précédent, le coefficient de proportionnalité est égal à 2,8. Autrement dit, le nombre par lequel on multiplie la masse de tomates pour obtenir le prix à payer est égal à 2,8.
Un coefficient de proportionnalité n'est pas nécessairement un nombre décimal. Il peut être un nombre rationnel et donc s'écrire sous la forme d'une fraction.
Une photocopieuse a une vitesse moyenne lui permettant d'imprimer 100 pages en 3 minutes. Le nombre de pages imprimées est proportionnel au temps (en minute).
Le coefficient de proportionnalité est égal au nombre \text{?} tel que : 3\times\text{ ?}=100.
Donc :
\text{?}=\dfrac{100}{3}
Or, \dfrac{100}{3} est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal. Sa valeur exacte s'écrit sous la forme d'une fraction.
Tableau de proportionnalité
Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes qui contient des valeurs de grandeurs proportionnelles. Sur la première ligne, on fait figurer les valeurs de la première grandeur. Sur la seconde ligne, on fait figurer les valeurs de la seconde grandeur.
On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le coefficient de proportionnalité. Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Le tableau de proportionnalité suivant illustre la définition précédente :
On peut également représenter un tableau de proportionnalité avec deux colonnes.
Le tableau précédent peut également se représenter ainsi :
Procédures pour déterminer une valeur dans une situation de proportionnalité
Les propriétés de linéarité
Dans une situation de proportionnalité, pour déterminer une valeur, on peut utiliser la linéarité pour l'addition.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit d'ajouter le prix de 5 croissants à celui de 6 croissants pour obtenir le prix de 11 croissants.
Pour déterminer une valeur dans une situation de proportionnalité, on peut également utiliser une soustraction.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit de soustraire le prix de 3 croissants à celui de 10 croissants pour obtenir le prix de 7 croissants.
Dans une situation de proportionnalité, pour déterminer une valeur, on peut utiliser la linéarité pour la multiplication.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit de multiplier le prix de 3 croissants par 2 pour obtenir le prix de 6 croissants.
Autrement dit, si le nombre de croissants est deux fois plus élevé, alors le prix est deux fois plus élevé également.
Pour déterminer une valeur dans une situation de proportionnalité, on peut également utiliser une division.
Si le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés, il suffit de diviser le prix de 10 croissants par 2 pour obtenir le prix de 5 croissants.
Autrement dit, si le nombre de croissants est deux fois moins élevé, alors le prix est deux fois moins élevé également.
Le retour à l'unité
Dans une situation de proportionnalité, pour déterminer une valeur, on peut effectuer un retour à l'unité.
On suppose que le prix des croissants est proportionnel au nombre de croissants achetés.
On sait que le prix de 2 croissants est 2,04 €. On veut calculer le prix de 7 croissants.
Effectuer un retour à l'unité signifie que l'on calcule le prix d'un croissant.
En divisant par 2 le prix de 2 croissants, on obtient :
2{,}04\div 2=1{,}02
Un croissant coûte donc 1,02 €.
Pour obtenir le prix de 7 croissants, il suffit ensuite de multiplier ce prix par 7 :
1{,}02\times 7=7{,}14
Ainsi, 7 croissants coûtent 7,14 €.
Avec le coefficient de proportionnalité
Dans une situation de proportionnalité, pour calculer une valeur, on peut utiliser le coefficient de proportionnalité.
Connaissant le prix de 2 croissants, on peut calculer le prix de 7 croissants en utilisant le coefficient de proportionnalité.
Ici, le coefficient de proportionnalité est égal à :
2{,}04\div2=1{,}02
Donc :
?=7{,}14\times1{,}02=7{,}14
Proportionnalité et représentation graphique
Représenter une situation de proportionnalité par un graphique
Si on représente une situation de proportionnalité par un graphique, alors les points du graphique sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
On considère une imprimante dont la vitesse est de 35 ppm. Cela signifie qu'elle imprime 35 pages par minutes.
Le nombre de pages imprimées est proportionnel au temps (en minutes).
On a le tableau de proportionnalité suivant :
| Temps (min) | 1 | 3 | 4 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de pages imprimées | 35 | 105 | 140 | 175 | 280 |
On peut représenter cette situation de proportionnalité par le graphique suivant, dans lequel les points sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
Si une situation est représentée par des points qui ne sont pas alignés sur une droite passant par l'origine du repère, alors il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité.
Ce graphique représente le prix payé dans une salle de spectacle en fonction du nombre de places achetées.
Les points ne sont pas alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
Il ne s'agit donc pas d'une situation de proportionnalité.
En conclusion, le prix payé n'est pas proportionnel au nombre de places achetées.
Ce graphique représente la température dans un four en fonction du temps (en minutes).
Les points ne sont pas alignés sur une droite.
Il ne s'agit donc pas d'une situation de proportionnalité.
En conclusion, la température n'est pas proportionnelle au temps (en minutes).
Reconnaître une situation de proportionnalité à partir d'un graphique
Si une situation est représentée par des points alignés sur une droite passant par l'origine du repère, alors il s'agit d'une situation de proportionnalité.
Ce graphique représente la distance parcourue par un cycliste en fonction du temps de parcours (en heures).
Les points sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
Il s'agit donc d'une situation de proportionnalité.
En conclusion, la distance parcourue est proportionnelle au temps de parcours.
Les applications de la proportionnalité
Les proportions et les pourcentages
Les pourcentages sont des fractions dont le dénominateur est égal à 100. Ils permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée, ou bien de comparer des proportions.
Proportion
Une proportion exprime le rapport entre entre une quantité et une partie de cette quantité.
On la représente sous la forme d'une fraction.
On considère une classe de 27 élèves dans laquelle il y a 16 filles.
La proportion de filles dans cette classe exprime le rapport entre le nombre de filles et le nombre d'élèves dans la classe.
On dit qu'elle est de 16 sur 27 et on l'écrit \dfrac{16}{27}.
Pourcentage
Un pourcentage est une proportion représentée par une fraction de dénominateur égal à 100.
On écrit un pourcentage à l'aide du symbole %.
Par exemple, si un yaourt de 125 g contient 30 g de matière grasse, alors la proportion de matière grasse dans ce yaourt est égale à \dfrac{30}{125}.
On peut écrire cette fraction avec un dénominateur égal à 100 :
\dfrac{30}{125}=\dfrac{6}{25}=\dfrac{24}{100}
On peut alors dire que la proportion de matière grasse dans ce yaourt est de 24 sur 100, ou encore de 24 pour 100, ou bien encore 24 %.
Les pourcentages permettent de passer d'une situation réelle à une situation standardisée dans laquelle la quantité totale est ramenée à 100. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions.
Dans un groupe de 20 enfants, 7 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau de proportionnalité dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :
| Nombre total d'enfants | 20 |
|---|---|
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 7 |
En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves jouant d'un instrument si le groupe était composé de 100 enfants. Pour cela, on calcule le coefficient de proportionnalité :
\dfrac{7}{20}=0{,}35=\dfrac{35}{100}
On obtient la valeur manquante : 35.
Et on peut remplir le tableau :
| Situation réelle | Situation standardisée | |
|---|---|---|
| Nombre total d'enfants | 20 | 100 |
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 7 | 35 |
Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprend 35 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est égale à 35 %.
Pour calculer t\text{ \%} d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.
Une chemise coûte 82 €. Étienne obtient une remise de 12 %.
12 \text{ \%} \times 82 = \dfrac{12}{100} \times 82 = 0{,}12 \times 82 = 9{,}84\text{ €}
Il bénéficie donc d'une réduction de 9,84 € sur la chemise.
Prendre 10 % d'un nombre revient à en prendre le dixième, c'est-à-dire à le diviser par 10.
10 % de 156 valent :
156\div10=15{,}6
Prendre 25 % d'un nombre revient à en prendre le quart, c'est-à-dire à le diviser par 4.
25 % de 240 valent :
240\div4=60
Prendre 50 % d'un nombre revient à en prendre la moitié, c'est-à-dire à le diviser par 2.
50 % de 10,2 valent :
10{,}2\div2=5{,}1
La vitesse
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne V d'un déplacement est égale à la distance d parcourue pendant une durée t :
V=\dfrac{d}{t}
- Si d est en kilomètres et t en heures, alors V est en km/h.
- Si d est en mètres et t en secondes, alors V est en m/s.
Un avion a parcouru une distance de 1 800 kilomètres en 2 heures. Sa vitesse moyenne a été de :
V=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\ 800}{2}=900\text{ km/h}
Si l'on se déplace à 60 km/h, cela signifie que l'on parcourt 60 kilomètres en une heure, ou 30 kilomètres en une demi-heure, ou encore 90 kilomètres en une heure et demie.
Si la distance est proportionnelle au temps, alors le coefficient de proportionnalité représente la vitesse moyenne.
Lors d'un mouvement uniforme sur autoroute à une vitesse de 130 km/h, les distances et durées sont proportionnelles.
- On multiplie les durées en heures par V=130 pour obtenir les distances en kilomètres.
- On divise les distances en kilomètres par V=130 pour obtenir les durées en heures.
On obtient par exemple le tableau suivant :
Il faut bien faire attention à exprimer le temps dans l'unité adaptée afin de pouvoir effectuer correctement des calculs de vitesse ou de distance.
Par exemple, on n'écrit pas 2 h 15 min mais 2,25 h pour pouvoir effectuer des calculs de vitesse ou de distance.
Les échelles
Échelle
Les dimensions sur un plan (ou une carte) sont proportionnelles aux dimensions réelles.
L'échelle d'un plan (ou d'une carte) est le quotient des dimensions sur le plan par les dimensions réelles, quand les deux types de dimensions sont exprimées dans la même unité.
L'échelle est souvent donnée sous forme fractionnaire :
\text{Échelle}=\dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}}
Si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{250} , cela signifie que 1 cm sur la représentation correspond à 250 cm en réalité.
Si les distances sur le plan sont proportionnelles aux distances réelles, alors le coefficient de proportionnalité représente l'échelle, quand les deux types de dimensions sont exprimées dans la même unité.
Si une échelle est de \dfrac{1}{1\ 000}, alors :
- On multiplie les distances réelles par \dfrac{1}{1\ 000} pour obtenir les distances sur le plan (dans la même unité), autrement dit on divise les distances réelles par 1 000 pour obtenir les distances sur le plan (dans la même unité).
- On divise les distances sur le plan par \dfrac{1}{1\ 000} pour obtenir les distances réelles (dans la même unité), autrement dit on multiplie les distances sur le plan par 1 000 pour obtenir les distances réelles (dans la même unité).
On obtient par exemple le tableau suivant :
