Généralités
Définition de la symétrie axiale
Symétrie axiale
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles sont superposables par pliage le long de cette droite. On parle alors de symétrie axiale (ou orthogonale) d'axe (d) et la droite (d) est appelée axe de symétrie.
Ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d).
Les propriétés de la symétrie axiale
La symétrie axiale respecte des propriétés géométriques :
- Le symétrique d'une droite par symétrie axiale est une droite.
- Le symétrique d'un segment par symétrie axiale est un segment de même longueur.
- Le symétrique d'un angle par symétrie axiale est un angle de même mesure.
- Le symétrique d'un cercle par symétrie axiale est un cercle de même rayon.
Les axes de symétrie d'une figure
Les axes de symétrie d'une figure
Axe de symétrie
La droite (d) est un axe de symétrie d'une figure si les deux parties de cette figure se superposent par pliage le long de la droite.
La droite (d) est un axe de symétrie de la figure.
La figure 1, qui est un carré, possède 4 axes de symétrie. La figure 2, quelconque, n'en a pas.
La médiatrice d'un segment
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment. Si (d) est la médiatrice du segment [AB], on dit que le point B est le symétrique du point A par rapport à (d) (et inversement).
Le point B est le symétrique de A par rapport à la droite (d).
Inversement, le symétrique du point A par rapport à une droite (d) est le point B tel que (d) soit la médiatrice du segment [AB]. Si le point A est sur la droite (d), son symétrique est lui-même : le point A est alors dit invariant.
Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités de ce segment.
Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. Donc CA = CB.
Inversement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, il appartient à la médiatrice de ce segment.
On remarque que CA = CB. Le point C appartient donc à la médiatrice du segment \left[AB\right].
Les cerfs-volants
Cerfs-volants
Un cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est un axe de symétrie.
Le quadrilatère ABCD est un cerf-volant car sa diagonale [AC] est un axe de symétrie.
Dans un cerf-volant ABCD d'axe de symétrie (AC) :
- AD = AB
- BC = CD
- \widehat{ABC} = \widehat{ADC}
- \left(AC\right) \perp \left(BD\right)
La bissectrice d'un angle
Bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle. C'est la (demi-)droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure.
La droite (d) est la bissectrice de l'angle \widehat{AOB}.
