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Dernière modification : 17/09/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Les angles : définition et mesure
Identifier un angle
Angle
Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
- Le point O, origine commune des demi-droites, est le sommet de l'angle.
- Les demi-droites [OA) et [OB) sont les côtés de l'angle.
On note un angle avec trois lettres recouvertes d'un chapeau (accent circonflexe allongé) :
- La lettre centrale désigne le sommet de l'angle.
- Les deux autres lettres désignent des points appartenant à chacun des deux côtés de l'angle.
Un angle peut se lire et se noter dans les deux sens, mais la lettre centrale désigne toujours le sommet.
L'angle tracé ci-dessus se note \widehat{AOB} ou \widehat{BOA} .
Un angle peut être illustré par l'ouverture d'un éventail, le déplacement de l'aiguille d'une horloge ou l'ouverture d'un compas.
Comparer des angles
Des angles de même mesure
On dit que deux angles sont deux angles de même mesure s'il y a le même écartement entre les deux côtés de chacun des deux angles.
Ci-dessous, les angles \widehat{RST} et \widehat{MNP} sont de même mesure.
Comme pour les longueurs, les angles de même mesure sont identifiés par un même codage sur une figure (deux petits arcs de cercle rouges sur la figure précédente).
Pour comparer la mesure de deux angles, on peut les superposer. On peut pour cela :
- utiliser un calque sur lequel on reproduit un des deux angles avant de placer le calque par-dessus l'autre angle ;
- créer un gabarit d'un des deux angles pour le reproduire par-dessus l'autre angle (avec un côté commun).
Sur la figure suivante, en superposant deux angles, on peut remarquer que l'angle rouge est plus grand que le vert.
Mesurer un angle
- L'unité de mesure d'un angle est le degré (°).
- Un angle se mesure à l'aide d'un rapporteur, qui est gradué de 0° à 180°.
- On confond le nom de l'angle avec sa mesure.
La notation \widehat{ABC} représente à la fois l'angle de sommet B et sa mesure.
Pour mesurer un angle donné :
- on place le centre du rapporteur au sommet de l'angle ;
- on fait passer l'un des côtés de l'angle par une des graduations 0° ;
- on lit sur la graduation dont on vient de choisir le 0° la valeur correspondant au deuxième côté de l'angle.
Pour construire un angle de mesure donnée :
- on trace une demi-droite qui représentera un côté ;
- on place le centre du rapporteur à l'extrémité de la demi-droite ;
- on aligne une des graduations 0° sur la demi-droite (cela fixe la graduation choisie) ;
- on place une marque sur la graduation choisie correspondant à la mesure souhaitée pour l'angle ;
- on retire le rapporteur et on relie la marque avec l'extrémité de la première demi-droite.
Pour bien choisir son rapporteur, il faut veiller à ce qu'il soit gradué de 0° à 180° dans les deux sens.
Les différents types d'angles
Les angles particuliers
Angle nul
Un angle nul est un angle dont les côtés sont superposés. Il mesure 0°.
Angle droit
Un angle droit est un angle dont les côtés sont perpendiculaires. Il mesure 90°.
Pour construire un angle droit, on peut utiliser une équerre.
Angle aigu
Un angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre 0° et 90°. Il est plus petit qu'un angle droit.
Angle obtus
Un angle obtus est un angle dont la mesure est comprise en 90° et 180°. Il est plus grand qu'un angle droit.
Angle saillant
Un angle saillant est un angle de mesure comprise entre 0° et 180°.
Tous les angles cités précédemment sont saillants.
Angle plein
Un angle plein est un angle dont les côtés sont superposés. Il mesure 360°.
Les liens entre deux angles
Angles opposés par le sommet
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles possédant le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Les deux angles de la figure suivante sont opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Les angles \widehat{DBE} et \widehat{ABC} sont opposés par le sommet.
Ils ont donc la même mesure.
Angles adjacents
Deux angles adjacents sont deux angles possédant le même sommet, un côté commun, et étant situés de part et d'autre de ce côté commun.
Les deux angles de la figure suivante sont adjacents.
Les angles \widehat{AOB} et \widehat{BOC} ont :
- Le même sommet O
- Un côté commun qui est [OB].Ils sont de part et d'autre de ce côté commun.
Les angles \widehat{AOB} et \widehat{BOC} sont donc des angles adjacents.
Angles supplémentaires
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
Les angles de ces figures sont supplémentaires.
En effet, 120 ° + 60° = 180°.
Deux angles supplémentaires et adjacents forment un angle plat. On peut donc en déduire que des points sont alignés.
Sur la figure, les angles adjacents \widehat{BAD} et \widehat{DAC} sont supplémentaires.
Les points C, A et B sont donc alignés.
La bissectrice d'un angle saillant
Bissectrice d'un angle saillant
La bissectrice d'un angle saillant est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents égaux.
Les angles \widehat{AOC} et \widehat{COB} sont adjacents et de même mesure.
La droite (OC) partage donc l'angle \widehat{AOB} en deux angles adjacents égaux.
On en déduit que la droite (OC) est la bissectrice de l'angle \widehat{AOB}.
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.
Les triangles
Propriétés
La somme des mesures des angles dans un triangle
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans ce triangle, \textcolor{Blue}{\widehat{ABC}} + \textcolor{Green}{\widehat{BAC}} + \textcolor{Red}{\widehat{ACB}} = 180^\circ.
Si l'on connaît la mesure de deux angles d'un triangle, on peut donc en déduire la mesure du troisième angle.
On connaît les angles \widehat{BAC} et \widehat{ACB} donc on peut en déduire la mesure de l'angle \widehat{ABC}.
\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=30+40=70°
\widehat{ABC}=180-70=110°
Les propriétés des médiatrices
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Les médiatrices des segment [AB], [BC] et [CA] sont concourantes.
Le cercle circonscrit à un triangle
Le cercle circonscrit à un triangle est le seul cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Dans un triangle, le point de concours des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Les médiatrices des segments [AB], [BC] et [CA] sont concourantes.
Leur point de concours est le point O.
Le cercle circonscrit au triangle est le cercle de centre O passant par les points A, B et C.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle peut se situer à l'extérieur du triangle.
C'est le cas si le triangle possède un angle obtus.
Les triangles particuliers
Le triangle isocèle
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins deux côtés de même longueur.
Si le point A est le sommet commun aux deux côtés de même longueur, on dit que le triangle ABC est isocèle en A. Le point A est appelé « sommet principal » et le segment [BC] est appelé « base du triangle ».
Le triangle DEF est isocèle en E. Le point E est le sommet principal et [DF] est la base.
Si un triangle est isocèle, alors il a au moins deux angles égaux.
On a MP = MN donc le triangle MNP est isocèle en M.
On en déduit que : \widehat{MPN}=\widehat{PNM}.
Réciproquement, si un triangle possède au moins deux angles égaux, il est isocèle.
On a \widehat{RST}=\widehat{STR} donc le triangle MNP est isocèle en R.
On en déduit que : RS=RT.
Le triangle équilatéral
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
Le triangle MNP est équilatéral.
Un triangle est équilatéral s'il possède trois angles égaux de 60°, et uniquement dans ce cas.
Réciproquement, si dans un triangle les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral.
On a EA = AU = UE donc le triangle EAU est équilatéral.
On en déduit que : \widehat{EAU}=\widehat{UEA}=\widehat{EUA}=60°.
On a \widehat{KLM}=\widehat{LMK}=\widehat{MKL}=60° donc le triangle KLM est équilatéral.
On en déduit que : KL=LM=MK.
Le triangle rectangle
Triangle rectangle
Un triangle est rectangle s'il possède deux côtés perpendiculaires.
Si le point A est le sommet de l'angle droit, on dit que le triangle ABC est rectangle en A. Le segment [BC] est alors appelé « hypoténuse du triangle », il est le côté le plus grand.
Le triangle ABC est rectangle en A. Le segment [BC] est son hypoténuse.