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Dernière modification : 31/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Définition d'un nombre rationnel
Nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers, donc qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction.
Les nombres suivants sont des nombres rationnels :
- 5 est un nombre rationnel car \dfrac{10}{2}=10 \div 2=5.
- 0,2 est un nombre rationnel car \dfrac{1}{5}=1 \div 5=0{,}2.
- \dfrac{1}{3} est un nombre rationnel.
Il arrive qu'un nombre rationnel ne puisse pas s'écrire sous forme décimale. C'est notamment le cas de \dfrac{1}{3} dans l'exemple précédent.
Les nombres décimaux et les nombres entiers sont des nombres rationnels particuliers.
Le nombre 8 est un nombre entier. C'est aussi un nombre décimal (on peut l'écrire \dfrac{80}{10} ). C'est aussi un nombre rationnel (on peut l'écrire \frac{16}{2} ).
Le nombre 3,75 est un nombre décimal. C'est aussi un nombre rationnel (on peut l'écrire \dfrac{375}{100} ).
Tous les nombres ne sont pas des nombres rationnels. On parle alors de nombre irrationnel.
Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.
On peut visualiser ainsi les ensembles de nombres :
Comparer des fractions
Comparer des fractions
Comparer deux fractions, c'est dire laquelle des deux est la plus grande (ou la plus petite) ou si les deux fractions sont égales.
Les fractions égales
Le nombre représenté par une fraction ne change pas quand on multiplie le numérateur et le dénominateur de celle-ci par un même nombre k non nul. Pour tous nombres a non nuls et b, on a :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\textcolor{Red}{\times k}}{b\textcolor{Red}{\times k}}
\dfrac{11}{3}=\dfrac{11\textcolor{Green}{\times 2}}{3\textcolor{Green}{\times 2}}=\dfrac{22}{6}
Le nombre représenté par une fraction ne change pas quand on divise le numérateur et le dénominateur de celle-ci par un même nombre k non nul. Pour tous nombres a non nuls et b, on a :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\textcolor{Red}{\div k}}{b\textcolor{Red}{\div k}}
\dfrac{12}{45}=\dfrac{12\textcolor{Green}{\div 3}}{45\textcolor{Green}{\div3}}=\dfrac{4}{15}
Pour comparer deux fractions, on peut utiliser la propriété des fractions égales afin de les mettre au même dénominateur.
On souhaite comparer \dfrac{7}{6} et \dfrac{16}{15}.
Pour cela, on écrit les deux fractions avec le même dénominateur. Ici, on prendre 30 comme dénominateur commun car 6 \times 5 = 30 et 15 \times2=30.
On écrit donc :
\dfrac{7}{6}=\dfrac{7\textcolor{Red}{\times 5}}{6\textcolor{Red}{\times 5}}=\dfrac{35}{30}
\dfrac{16}{15}=\dfrac{16\textcolor{Red}{\times 2}}{15\textcolor{Red}{\times 2}}=\dfrac{32}{30}
Ainsi, comparer \dfrac{7}{6} et \dfrac{16}{15} revient à comparer \dfrac{35}{30} et \dfrac{32}{30}.
Ces deux fractions étant écrites avec le même dénominateur, les comparer revient à comparer leurs numérateurs.
Or :
32 \lt 35
Par conséquent :
\dfrac{32}{30} \lt \dfrac{35}{30}
En conclusion, on obtient :
\dfrac{16}{15} \lt \dfrac{7}{6}
Comparer des fractions à 1
On considère une fraction \dfrac{a}{b} où b est un nombre non nul.
- Si a=b, alors \dfrac{a}{b}=1.
-
Si a\gt b, alors \dfrac{a}{b}\gt 1.
-
Si a\lt b, alors \dfrac{a}{b}\lt 1.
On a \dfrac{11}{9} \gt 1 car 11 \gt 9.
On a \dfrac{21}{32} \lt 1 car 21 \lt 32.
On a \dfrac{14}{14}=1.
Pour comparer deux fractions, on peut parfois les comparer à 1.
On souhaite comparer \dfrac{17}{14} et \dfrac{8}{9}.
Pour cela, on compare chacune des deux fractions à 1 :
- 17 \gt 14 donc \dfrac{17}{14}\gt 1.
- 8 \lt 9 donc \dfrac{8}{9} \lt 1.
On en conclut que \dfrac{8}{9}\lt\dfrac{17}{14}.
Attention, cette méthode ne fonctionne que dans certains cas : quand l'une des deux fractions est supérieure à 1, et l'autre est inférieure à 1.
Comparer des fractions à 0,5
On considère une fraction \dfrac{a}{b} où b est un nombre non nul.
- Si a est égal à la moitié de b, alors \dfrac{a}{b}=0{,}5.
-
Si a est inférieur à la moitié de b, alors \dfrac{a}{b}\lt0{,}5.
-
Si a est supérieur à la moitié de b, alors \dfrac{a}{b}\gt0{,}5.
On a \dfrac{13}{21} \gt 0{,}5 car 13 est supérieur à la moitié de 21 qui est 10,5.
On a \dfrac{17}{40} \lt 0{,}5 car 17 est inférieur à la moitié de 40 qui est 20.
On a \dfrac{11}{22}=0{,}5 car 11 est la moitié de 22.
Pour comparer deux fractions, on peut parfois les comparer à 0,5.
On souhaite comparer \dfrac{17}{14} et \dfrac{8}{9}.
Pour cela, on compare chacune des deux fractions à 0,5 :
On a \dfrac{9}{17} \gt 0{,}5 car 9 est supérieur à la moitié de 17 qui est 8,5.
On a \dfrac{8}{21} \lt 0{,}5 car 8 est inférieur à la moitié de 21 qui est 10,5.
On en conclut que \dfrac{8}{21}\lt\dfrac{9}{17}.
Attention, cette méthode ne fonctionne que dans certains cas : quand l'une des deux fractions est supérieure à 0,5, et l'autre est inférieure à 0,5.
Additionner et soustraire des fractions
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve le dénominateur commun aux deux fractions.
\dfrac{17}{11}+\dfrac{5}{11}=\dfrac{17+5}{11}=\dfrac{22}{11}=2
\dfrac{5}{21}-\dfrac{1}{21}=\dfrac{5-1}{21}=\dfrac{4}{21}
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur :
- on identifie un dénominateur commun ;
- on écrit les fractions avec ce dénominateur commun en utilisant la propriété des fractions égales ;
- on applique la propriété précédente pour terminer le calcul.
On souhaite effectuer le calcul \dfrac{9}{10}+\dfrac{7}{6}.
On peut choisir 30 comme dénominateur commun car 10 \times 3 = 30 et 6\times5=30.
On écrit alors :
\dfrac{9}{10}=\dfrac{9\textcolor{Red}{\times3}}{10\textcolor{Red}{\times3}}=\dfrac{27}{30} et \dfrac{7}{6}=\dfrac{7\textcolor{Red}{\times5}}{6\textcolor{Red}{\times5}}=\dfrac{35}{30}
Ainsi, on a :
\dfrac{9}{10}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{30}+\dfrac{35}{30}=\dfrac{27+35}{30}=\dfrac{62}{30}
On peut simplifier le résultat obtenu :
\dfrac{62}{30}=\dfrac{62\textcolor{Red}{\div 2}}{30\textcolor{Red}{\div 2}}=\dfrac{31}{15}
On peut résoudre des problèmes amenant à additionner ou soustraire des fractions.
Ce matin, en se rendant au collège, Sarah a lu \dfrac{1}{6} de son livre. À son retour, après les cours, elle a lu \dfrac{5}{8} du livre. Il lui reste encore 15 pages à lire. Quelle fraction du livre lui reste-t-il à lire ?
On peut schématiser le problème ainsi :
Le nombre total de pages représente 1.
On va donc calculer \dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{8} puis soustraire le résultat obtenu à 1.
On obtient d'abord :
\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{1\textcolor{Red}{\times 4}}{6\textcolor{Red}{\times 4}}+\dfrac{5\textcolor{Red}{\times 3}}{8\textcolor{Red}{\times 3}}=\dfrac{4}{24}+\dfrac{15}{24}=\dfrac{15+4}{24}=\dfrac{19}{24}
Puis :
1-\dfrac{19}{24}=\dfrac{24}{24}-\dfrac{19}{24}=\dfrac{24-19}{24}=\dfrac{5}{24}
On en déduit que la fraction du livre qu'il reste à lire à Sarah est \dfrac{5}{24}.