L'homothétie - 3e - Cours Mathématiques

Définition de l'homothétie

L'homothétie est une transformation de plan qui transforme les dimensions des figures de départ. Elle peut être de rapport positif ou négatif et il existe une méthode bien précise pour construire l'image d'un point par homothétie.

Homothétie

On considère un point O du plan et un nombre k\neq0. On appelle « homothétie » de centre O et de rapport k la transformation du plan qui, à chaque point M, associe le point M' tel que :

Les points O, M et M' sont alignés.
Si k\gt0, M et M' sont du même côté du point O et OM'=k\times OM.
Si k\lt0, M et M' sont de part et d'autre du point O et OM'=-k\times OM.

Sur le schéma suivant, le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5.

Sur le schéma suivant, le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=-0{,}5.

Une homothétie de rapport 1 donne des figures images superposées avec les figures initiales.
Une homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale.

On considère un point O et un réel k non nul.

Pour construire l'image M' d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k, on procède comme suit :

On trace la droite (OM).
On mesure la distance OM.
Si k<0, on place le point M' sur la demi-droite MO tel que OM'=-k\times OM.
Si k>0, on place le point M' sur la demi-droite OM tel que OM'=k\times OM.

Les effets de l'homothétie sur les figures géométriques

L'image d'une droite par homothétie est une droite parallèle à la première. Les longueurs sont multipliées par le rapport k de l'homothétie et les aires par k^2. L'image d'un triangle par homothétie est un triangle semblable au premier, les mesures d'angles ainsi que l'alignement sont conservés.

L'image d'une droite par homothétie

L'image de deux points A et B par homothétie crée deux points A' et B' tels que (AB) // (A'B').

Soient A et B deux points du plan et A' et B' leurs images par une homothétie. On sait alors que \left(AB\right) et \left(A'B'\right) sont parallèles.

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5.

On a :

\left(AB\right)//\left(A'B'\right)
\left(AC\right)//\left(A'C'\right)
\left(BC\right)//\left(B'C'\right)

On considère un point O et un réel k non nul.

Soient A et B deux points du plan.

On note A' et B' leurs images par l'homothétie de centre O et de rapport k.

Les triangles OAB et OA'B' sont alors en configuration de Thalès.

Si k>0, les triangles sont emboîtés.
Si k<0, il s'agit d'une configuration « papillon ».

On considère trois points O, A et B.

On note A' et B' les images des points A et B par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

Les triangles OAB et OA'B' sont alors en configuration de Thalès.

Les effets de l'homothétie sur les longueurs et les aires

Par une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k^2.

Par une homothétie de rapport k\gt0, les longueurs sont multipliées par k.

Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=3.

On sait que AB=2.

On en déduit que :
A'B'=3\times AB=6\ \text{cm}

Par une homothétie de rapport k\gt0, les aires sont multipliées par k^2.

Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=3.

On sait que Aire_{ABCD}=2\ \text{cm}^2.

On en déduit que :
Aire_{A'B'C'D'}=3^2\times Aire_{ABCD}=9\times2=18\ \text{cm}^2

Les longueurs de la figure image sont donc proportionnelles à celles de la figure de départ.

Si le rapport de l'homothétie est k\lt0, alors les longueurs sont multipliées par \left(-k\right) et les aires par k^2.

L'effet de l'homothétie sur un triangle

L'homothétie transforme un triangle en un triangle semblable au premier.

Une homothétie transforme un triangle en un triangle semblable au premier.

En reprenant le cas d'homothétie représenté sur le schéma ci-dessus, les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Les propriétés de conservation de l'homothétie

L'homothétie conserve l'alignement et les mesures d'angles.

L'homothétie conserve l'alignement.

En reprenant le cas d'homothétie représenté sur le schéma ci-dessus, les points B, D et C sont alignés dans cet ordre, et les points B', D' et C' sont alignés dans cet ordre également.

L'homothétie conserve les mesures d'angles.

En reprenant le cas d'homothétie représenté sur le schéma ci-dessus, les angles sont conservés, en particulier : \widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}.

III

La transformation d'une figure par homothétie

Pour construire l'image d'une figure par une homothétie, il suffit de construire l'image des points essentiels de cette figure. Cela peut se faire à l'aide d'un logiciel de géométrie.

Pour construire l'image d'une figure par une homothétie, on construit les images des points essentiels par cette homothétie.

On termine ensuite la figure image en utilisant les propriétés de conservation de l'homothétie.

Le polygone A'B'C'D'E'F'G' est l'image du polygone ABCDEFG par l'homothétie de centre O et de rapport -2.

Pour construire cette figure, il suffit :

de construire de chaque sommet du polygone ABCDEFG ;
puis de relier les points images comme sur la figure de départ.

Cette méthode de construction est également valable lorsqu'on utilise un logiciel de géométrie pour obtenir l'image d'une figure par une homothétie, mais un logiciel de géométrie permet souvent d'obtenir l'image de la figure complète par l'homothétie en une seule fois.

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