Théorème de Thalès et réciproqueCours

I

Le théorème

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à \left( BC \right) qui coupe \left( AB \right) en M et \left( AC \right) en N. D'après le théorème de Thalès :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

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On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente où les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.

On sait que ABC est un triangle avec M\in\left[ AB \right] et N\in\left[ AC \right]. De plus, les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

D'où :

\dfrac{3,3}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{3,5}

On en déduit que :

\dfrac{3,3}{AB}=\dfrac{2,5}{3,5}

Puis avec le produit en croix :

AB= \dfrac{3,3\times3,5}{2,5}=4,62 cm

On peut également obtenir une configuration où M\notin\left[ AB \right] et N\notin\left[ AC \right].

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  • Ce théorème permet de calculer une longueur dans une telle configuration, si on connaît les autres.
  • Il permet également de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
II

Sa réciproque

Réciproque du Théorème de Thalès

Considérons un triangle ABC. Si une droite coupe \left( AB \right) en M et \left( AC \right) en N, telle que :

  • \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
  • Les points A, M, B et A, N, C sont dans le même ordre.

Alors les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.

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On veut démontrer que les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.

ABC est un triangle et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre.

D'une part :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{2,4}=\dfrac56

D'autre part :

\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{3}=\dfrac56

Donc :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \left( MN \right) et \left( BC \right) sont parallèles.

En remplaçant l'hypothèse \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} par \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC} ou \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}, la conclusion est la même.

La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.