Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) d'unité 1 cm, on considère les points suivants :
A(3 ; -1 ; 1) ; B(4 ; -1 ; 0) ; C(0 ; 3 ; 2) ; D(4 ; 3 ; -2) et S(2 ; 1 ; 4)
Dans cet exercice, on souhaite montrer que SABDC est une pyramide à base ABDC trapézoïdale de sommet S, afin de calculer son volume.
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
D'une part, on calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
\begin{pmatrix} 4-3 \cr\cr -1-(-1) \cr\cr 0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
D'autre part on calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC} :
\begin{pmatrix} 0-3 \cr\cr 3-(-1) \cr\cr 2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
Or, les vecteurs \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.
Il n'existe pas de réel \k\ tel que 1 \times k = {-}3 et 0 \times k = 4 donc les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. On en déduit que les vecteurs \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
On en conclut donc que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Non, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Quel est le volume de la pyramide SABDC ?
On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule V=\dfrac{1}{3}\times{\text{aire de la base}}\times{\text{hauteur}}.
La base de la pyramide SABCD est le trapèze ABCD.
Son aire est de 15 cm2.
Par ailleurs, le point I est le point d'intersection du plan (ABC) et de la droite \delta passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).
S étant le sommet de la pyramide, on en déduit que la hauteur de la pyramide est [SI].
On sait que SI = 2 \text{ cm}.
On peut donc calculer le volume de la pyramide SABCD ainsi :
V=\dfrac{1}{3}\times{\text{aire de la base}}\times{\text{hauteur}}
On obtient :
V=\dfrac{1}{3}\times{15}\times{2}
Et cela donne finalement :
V=10\text{ cm}^3
Le volume de la pyramide SABCD est de 10 cm3.