Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) d'unité 1 cm, on considère les points suivants :
A(3 ; -1 ; 1) ; B(4 ; -1 ; 0) ; C(0 ; 3 ; 2) ; D(4 ; 3 ; -2) et S(2 ; 1 ; 4)
Dans cet exercice, on souhaite montrer que SABDC est une pyramide à base ABDC trapézoïdale de sommet S, afin de calculer son volume.
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
D'une part, on calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
\begin{pmatrix} 4-3 \cr\cr -1-(-1) \cr\cr 0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
D'autre part on calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC} :
\begin{pmatrix} 0-3 \cr\cr 3-(-1) \cr\cr 2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
Or, les vecteurs \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.
Il n'existe pas de réel \k\ tel que 1 \times k = {-}3 et 0 \times k = 4 donc les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. On en déduit que les vecteurs \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
On en conclut donc que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Non, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
On sait que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Par conséquent, les points A, B et C définissent un plan : le plan (ABC).
On a calculé précédemment les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
On calcule maintenant les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AD} :
\begin{pmatrix} 4-3 \cr\cr 3-(-1) \cr\cr -2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
A, B, C sont coplanaires si et seulement si D appartient à (ABC) et si et seulement si \overrightarrow{AD} est une combinaison linéaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, qui sont deux vecteurs non colinéaires de ((ABC)\). On cherche donc deux réels a et b tels que \overrightarrow{AD} =a \overrightarrow{AB} +b\overrightarrow{AC}, ce qui équivaut au système :
- a + (-3) \times b= 1
- 4 \times b = 4
- {-}a + b = -3
Avec a = 4 et b = 1, on a bien \overrightarrow{AD} =a \overrightarrow{AB} +b\overrightarrow{AC}.
Ainsi, on a :
\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}
Le vecteur \overrightarrow{AD} peut donc être écrit comme combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Et on sait que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, le vecteur \overrightarrow{AD} est un vecteur du plan (ABC).
Et comme le point A est dans le plan (ABC), on en déduit que le point D est également dans (ABC).
En conclusion, les points A, B, C et D sont coplanaires.
Oui, les points A, B, C et D sont coplanaires.
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
On sait que les points A, B, C et D sont coplanaires.
Donc ABDC est une figure plane.
On connaît les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CD} :
\begin{pmatrix} 4-0 \cr\cr 3-3 \cr\cr -2-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 0 \cr\cr -4 \end{pmatrix}
On remarque que :
\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{AB}
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires et de même sens.
On en déduit que ABDC est un quadrilatère non croisé dont les côtés [AB] et [CD] sont parallèles (mais pas de même longueur).
Autrement dit, ABDC est un trapèze.
ABDC est un trapèze.
Quel vecteur \overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan (ABC) ?
On connaît les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
Comme on est dans un repère (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) qui est orthonormé, on va utiliser les coordonnées des vecteurs pour calculer les produits scalaires suivants :
\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}=2\times1+1\times0+2\times(-1)=2+1+(-2)=0
et
\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \cr\cr 1 \end{pmatrix}=2\times(-3)+1\times4+2\times1=-6+4+2=0
On en déduit donc que :
- les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux ;
-
les vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Or, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).
On en déduit que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC).
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC).
Quelle équation est une équation cartésienne du plan (ABC) ?
On sait que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC).
Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme :
2x+y+2z+d=0
où d est un nombre réel à déterminer.
Or, le point C(0;3;2) appartient au plan (ABC).
Donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan (ABC) :
2\times0+3+2\times2+d=0
On obtient :
0+3+4+d=0
Et on en déduit :
7+d=0
Et finalement :
d=-7
En conclusion, une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x+y+2z-7=0.
L'équation 2x+y+2z-7=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
On appelle \delta la droite passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).
Laquelle de ces représentations est une représentation paramétrique de la droite \delta ?
Si on connaît un vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix} de la droite \delta et un point P(x_P;y_P;z_P) appartenant à la droite \delta, alors on obtient une représentation paramétrique de la droite \delta de la manière suivante :
\begin{cases} x_P+at \cr \cr y_P+bt \cr \cr z_P+ct \end{cases}, t\in\mathbb{R}
D'une part, on sait que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC).
D'autre part, on sait que la droite \delta est orthogonale au plan (ABC).
On en déduit que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite \delta.
Par ailleurs, on sait que la droite \delta passe par le point S(2;1;4).
Par conséquent, on obtient une représentation paramétrique de la droite \delta :
\begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = 1 + t \cr \cr z = 4 + 2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = 1 + t \cr \cr z = 4 + 2t \end{cases}, t\in\mathbb{R} est une représentation paramétrique de la droite \delta.
On note I le point d'intersection de la droite \delta et du plan (ABC).
Quelles sont les coordonnées du point I ?
On sait qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :
2x+y+2z-7=0
On sait également qu'une représentation paramétrique de la droite \delta est :
\begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = 1 + t \cr \cr z = 4 + 2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le point I étant le point d'intersection du plan (ABC) et de la droite \delta, ses coordonnées doivent vérifier à la fois l'équation cartésienne du plan (ABC) et la représentation paramétrique de la droite \delta :
2x+y+2z-7=0
et
\begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = 1 + t \cr \cr z = 4 + 2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
On va déterminer la valeur de t.
On remplace x, y et z par leurs expressions en fonction de t dans l'équation cartésienne du plan (ABC).
On obtient :
2(2+2t)+(1+t)+2(4+2t)-7=0
Ce qui donne ensuite :
4+4t+1+t+8+4t-7=0
On obtient alors :
9t+6=0
Et finalement on trouve :
t=-\dfrac{6}{9}
En simplifiant, on obtient :
t=-\dfrac{2}{3}
Avec t=-\dfrac{2}{3}, on obtient les coordonnées suivantes :
\begin{cases}x= 2+2\times\left( -\dfrac{2}{3}\right) \cr \cr y=1+\left( -\dfrac{2}{3}\right) \cr \cr z=4+2\times\left( -\dfrac{2}{3}\right) \end{cases}
Ce qui donne finalement :
\begin{cases}x= \dfrac{2}{3} \cr \cr y=\dfrac{1}{3} \cr \cr z= \dfrac{8}{3} \end{cases}
On vérifie que ces coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan (ABC) :
2\times\frac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+2\times\frac{8}{3}-7=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{16}{3}-\dfrac{21}{3}=0
On en conclut que les coordonnées du point I sont :
\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3} \right)
Les coordonnées du point I sont \left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3} \right).
Combien vaut SI ?
Dans le repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}), on calcule SI de la manière suivante :
\sqrt{(x_I-x_S)^2+(y_I-x_S)^2+(z_I-z_S)^2}
On obtient :
\sqrt{\left( \dfrac{2}{3}-2 \right)^2+\left( \dfrac{1}{3}-1 \right)^2+\left( \dfrac{8}{3}-4 \right)^2}
Ce qui donne :
\sqrt{\left( -\dfrac{4}{3} \right)^2+\left(- \dfrac{2}{3} \right)^2+\left( -\dfrac{4}{3} \right)^2}
Puis :
\sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}}
On obtient finalement :
\sqrt{\dfrac{36}{9}}=\sqrt{4}=2
SI = 2 \text{ cm}
Le point H a pour coordonnées (3;3;-1).
Le point H est-il le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD) ?
Le vecteur \overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 0 \cr\cr -4 \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{CH} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{BH} a pour coordonnées \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 4 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
D'une part, on calcule le produit scalaire suivant :
\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CD}
On obtient :
(-1)\times4+4\times0+(-1)\times(-4)=-4+0+4=0
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{BH} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux.
Par conséquent, les droites (BH) et (CD) sont orthogonales.
D'autre part, on remarque que :
\overrightarrow{CH}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CD}
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{CH} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
On en déduit que les points C, H et D sont alignés.
Autrement dit, le point H appartient à la droite (CD).
On a finalement montré que :
- Les droites (BH) et (CD) sont orthogonales.
- Le point H appartient à la droite (CD).
Autrement dit, on a montré que le point H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
Oui, le point H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
Combien vaut HB ?
Dans le repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}), on calcule HB de la manière suivante :
\sqrt{(x_B-x_H)^2+(y_B-x_H)^2+(z_B-z_H)^2}
On obtient :
\sqrt{\left( 4-3 \right)^2+\left( -1-3 \right)^2+\left(0-(-1) \right)^2}
Ce qui donne :
\sqrt{1^2+\left( -4 \right)^2+1^2}
Puis :
\sqrt{1+16+1}
On obtient finalement :
\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}
HB=3\sqrt{2} \text{ cm}
Quelle est la valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC ?
On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule A=\dfrac{b+B}{2}\times{h} où b et B sont les longueurs des bases du trapèze et h sa hauteur.
Les bases du trapèze ABCD sont les segments [AB] et [CD].
On a montré à la question 2. b. que \overrightarrow{CD}=4{\overrightarrow{AB}}.
On calcule AB et CD, en cm :
- AB=\sqrt{(4-3)^2+(-1-(-1))^2+(0-1)^2}=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}
- CD=\left| 4 \right|\times{AB}=4{\sqrt{2}}
Par ailleurs, le point H étant le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD), la hauteur du trapèze est HB.
Or, on sait que HB=3\sqrt{2}.
On peut donc calculer l'aire du trapèze ABCD :
A=\dfrac{b+B}{2}\times{h}
A=\dfrac{AB+DC}{2}\times{HB}
On obtient :
A=\dfrac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\times{3{\sqrt{2}}}
Ce qui donne :
A=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times{3{\sqrt{2}}}
Et on obtient finalement :
A=15 \text{ cm}^2
La valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC est de 15 cm2.
Quel est le volume de la pyramide SABDC ?
On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule V=\dfrac{1}{3}\times{\text{aire de la base}}\times{\text{hauteur}}.
La base de la pyramide SABCD est le trapèze ABCD.
Son aire est de 15 cm2.
Par ailleurs, le point I est le point d'intersection du plan (ABC) et de la droite \delta passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).
S étant le sommet de la pyramide, on en déduit que la hauteur de la pyramide est [SI].
On sait que SI = 2 \text{ cm}.
On peut donc calculer le volume de la pyramide SABCD ainsi :
V=\dfrac{1}{3}\times{\text{aire de la base}}\times{\text{hauteur}}
On obtient :
V=\dfrac{1}{3}\times{15}\times{2}
Et cela donne finalement :
V=10\text{ cm}^3
Le volume de la pyramide SABCD est de 10 cm3.