L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On considère les points A(5 ; 5 ; 0), B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 10) et D\left( 0;0; -\dfrac{5}{2}\right).
On admet que le triangle ABC est rectangle en B.
Quelle est la distance du point H au plan (ABC) ?
Le triangle ABC est rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
CA^2=AB^2+BC^2
D'où :
BC^2=CA^2-AB^2
Or, on a :
AB^2=(0-5)^2+(5-5)^2+(0-0)^2=25+0+0=25
et
CA^2=(5-0)^2+(5-0)^2+(0-10)^2=25+25+100=150
On en déduit :
BC^2=150-25=125
On obtient :
BC=\sqrt{125}=5\sqrt{5}
On calcule ensuite l'aire du triangle ABC :
\frac{AB\times{BC}}{2}=\frac{5\times{5\sqrt{5}}}{2}=\frac{25\sqrt{5}}{2}
On nomme d la distance du point H au plan (ABC).
Le volume du tétraèdre s'exprime alors ainsi :
\dfrac{\text{Aire }(ABC)\times{d}}{3}
Or, on sait que le volume du tétraèdre est égal à \dfrac{125}{6}.
On obtient ainsi :
\dfrac{\text{Aire }(ABC)\times{d}}{3}=\dfrac{125}{6}
D'où :
\dfrac{{\frac{25\sqrt{5}}{2}}\times{d}}{3}=\dfrac{125}{6}
On en déduit :
\dfrac{{25\sqrt{5}}\times{d}}{6}=\dfrac{125}{6}
Puis :
25\sqrt{5}\times{d}=125
Et finalement :
d=\dfrac{125}{25\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}
La distance du point H au plan (ABC) est égale à \sqrt{5}.