L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On considère :
- Les points A(-2 ; 0 ; 2), B(-1 ; 3 ; 0), C(1 ; -1 ; 2) et D(0 ; 0 ; 3).
- La droite D_1 dont une représentation paramétrique est : \begin{cases} x= t \cr \cr y=3t \cr \cr z=3+5t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}.
- La droite D_2 dont une représentation paramétrique est : \begin{cases} x= 1+3s \cr \cr y=-1-5s \cr \cr z=2-6s \end{cases} avec s\in\mathbb{R}.
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
On connaît les coordonnées suivantes :
A(-2 ; 0 ; 2), B(-1 ; 3 ; 0), C(1 ; -1 ; 2)
On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
Or :
\dfrac{3}{1}\neq\dfrac{-1}{3}, donc les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles.
Par conséquent, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
On en conclut que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Non, les points A, B et C ne sont pas alignés.
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr 5 \end{pmatrix} est-il orthogonal au plan (ABC) ?
On a calculé précédemment les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
Par ailleurs, on a montré que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).
On calcule :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=1\times1+3\times3+5\times(-2)=1+9+(-10)=0
On en conclut que le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{AB}.
On calcule également :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=1\times3+3\times(-1)+5\times0=3+(-3)+0=0
On en conclut que le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{AC}.
Ainsi, le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).
On en conclut que le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au plan (ABC).
Oui, le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au plan (ABC).
Laquelle de ces équations est une équation cartésienne du plan (ABC) ?
Le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au plan (ABC).
Donc le vecteur \overrightarrow{n} est donc un vecteur normal du plan (ABC).
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{n} sont \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr 5 \end{pmatrix}.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme :
x + 3y + 5z + d = 0 avec d\in\mathbb{R}.
De plus, le point A(-2 ; 0 ; 2) appartient au plan (ABC) donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan (ABC).
On a donc :
-2 + 3 × 0 + 5 × 2 + d = 0
Ce qui équivaut à :
-2+0+10+ d = 0
Et on obtient finalement :
d=-8
Finalement, une équation cartésienne du plan (ABC) est x + 3y + 5z - 8 = 0.
Une équation cartésienne du plan (ABC) est x + 3y + 5z - 8 = 0.
Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
Le point D a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3).
En utilisant l'équation cartésienne du plan (ABC) obtenue précédemment, on substitue les coordonnées de D à (x;y;z).
0 + 3\times0 + 5\times3 - 8 = 0+0+15-8=7.
Or :
7\neq0
Ainsi, les coordonnées du point D ne vérifient pas l'équation cartésienne du plan (ABC).
On en déduit que le point D n'appartient pas au plan (ABC).
Et on en conclut que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
Non, les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
La droite D_1 est une hauteur du tétraèdre ABCD.
De quel sommet est-elle issue ?
Une représentation paramétrique de la droite D_1 est : \begin{cases} x= t \cr \cr y=3t \cr \cr z=3+5t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}.
Pour t=0, on obtient :
\begin{cases} x= 0 \cr \cr y=3\times0=0 \cr \cr z=3+5\times0=3 \end{cases}
On reconnaît les coordonnées du point D.
On en conclut que le point D appartient à la droite D_1.
Par ailleurs, d'après la représentation paramétrique de la droite D_1 : \begin{cases} x= t \cr \cr y=3t \cr \cr z=3+5t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}, on en déduit que le vecteur \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr 5 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite D_1.
Autrement dit, le vecteur \overrightarrow{n} est un vecteur directeur de la droite D_1.
Or, le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au plan (ABC).
On en déduit que la droite D_1 est orthogonale au plan (ABC).
Ainsi, la droite D_1 passe par le point D et est orthogonale au plan (ABC).
On en conclut que la droite D_1 est la hauteur du tétraèdre ABCD issue du sommet D.
La droite D_1 est la hauteur du tétraèdre ABCD issue du sommet D.
On admet que la droite D_2 est la hauteur du tétraèdre ABCD issue du sommet C.
Les droites D_1 et D_2 sont sécantes.
Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
On sait que :
- La droite D_1 admet une représentation paramétrique: \begin{cases} x= t \cr \cr y=3t \cr \cr z=3+5t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}.
- La droite D_2 admet une représentation paramétrique : \begin{cases} x= 1+3s \cr \cr y=-1-5s \cr \cr z=2-6s \end{cases} avec s\in\mathbb{R}.
Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites D_1 et D_2, on résout le système (S) suivant :
\begin{cases} t = 1 + 3s \cr \cr 3t = -1 - 5s \cr \cr 3 + 5t = 2 - 6s \end{cases}
On a les équivalences suivantes :
(S)\Leftrightarrow\begin{cases} t = 1 + 3s \cr \cr 3(1 + 3s) = -1 - 5s \cr \cr 3 + 5(1 + 3s) = 2 - 6s \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t = 1 + 3s \cr \cr 3+9s = -1 - 5s \cr \cr 8+15s = 2 - 6s \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t = 1 + 3s \cr \cr 14s=-4 \cr \cr 21s=-6 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t = 1 + 3s \cr \cr s=\dfrac{-4}{14} \cr \cr s=\dfrac{-6}{21} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t = 1 + 3s \cr \cr s=\dfrac{-2}{7} \cr \cr s=\dfrac{-2}{7} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t = 1 + 3\times{\dfrac{-2}{7}} \cr \cr s=\dfrac{-2}{7} \cr \cr s=\dfrac{-2}{7} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t =\dfrac{1}{7} \cr \cr s=\dfrac{-2}{7} \cr \cr s=\dfrac{-2}{7} \end{cases}
Ainsi, le système (S) admet une unique solution.
On remplace t par \dfrac{1}{7} dans la représentation paramétrique de la droite D_1 :
\begin{cases} x= \dfrac{1}{7} \cr \cr y=3\times{\dfrac{1}{7}} \cr \cr z=3+5\times{\dfrac{1}{7}} \end{cases}
On obtient :
\begin{cases} x= \dfrac{1}{7} \cr \cr y=\dfrac{3}{7} \cr \cr z=\dfrac{26}{7} \end{cases}
On en conclut que les droites D_1 et D_2 sont sécantes et que leur point d'intersection a pour coordonnées \left( \dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7}; \dfrac{26}{7} \right).
Le point d'intersection des droites D_1 et D_2 a pour coordonnées \left( \dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7}; \dfrac{26}{7} \right).
Quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal H du point D sur le plan (ABC) ?
Le point H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Ainsi, le point H est l'intersection du plan (ABC) et de la hauteur issue de D dans le tétraèdre ABCD.
Or, on sait que la droite D_1 est la hauteur issue de D dans le tétraèdre ABCD.
Par conséquent, les coordonnées de H vérifient à la fois :
- l'équation cartésienne du plan (ABC) : x + 3y + 5z - 8 = 0 ;
- la représentation paramétrique de la droite D_1 : \begin{cases} x= t \cr \cr y=3t \cr \cr z=3+5t \end{cases} avec t\in\mathbb{R}.
Pour déterminer les coordonnées du point H, on résout donc l'équation suivante :
t + 3\times{3t} + 5\times{(3+5t)} - 8 = 0
On a les équivalences suivantes :
t + 3\times{3t} + 5\times{(3+5t)} - 8 = 0
\Leftrightarrow t + 9t + 15+25t - 8 = 0
\Leftrightarrow 35t=-7
\Leftrightarrow t=\dfrac{-7}{35}
\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{5}
On obtient finalement :
t=\dfrac{-1}{5}
Ensuite, on remplace t par \dfrac{1}{7} dans la représentation paramétrique de la droite D_1 :
\begin{cases} x= \dfrac{-1}{5}\cr \cr y=3\times{ \dfrac{-1}{5}} \cr \cr z=3+5\times{ \dfrac{-1}{5}} \end{cases}
On obtient :
\begin{cases} x= \dfrac{-1}{5}\cr \cr y=\dfrac{-3}{5} \cr \cr z=2 \end{cases}
On en conclut que les coordonnées du point H sont \left( \dfrac{-1}{5};\dfrac{-3}{5} ;2\right).
Les coordonnées du projeté orthogonal H du point D sur le plan (ABC) sont \left( \dfrac{-1}{5};\dfrac{-3}{5} ;2\right).
Quelle est la distance du point D au plan (ABC), arrondie au centième ?
Le point H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Par conséquent, la distance du point D au plan (ABC) est égale à la longueur DH.
On connaît les coordonnées du point D et celles du point H :
- D(0;0;3)
- H\left( \dfrac{-1}{5};\dfrac{-3}{5} ;2\right)
On calcule la longueur DH de la manière suivante :
DH=\sqrt{\left( \dfrac{-1}{5}-0 \right)^2+\left( \dfrac{-3}{5}-0 \right)^2+\left( 2-3 \right)^2}
On obtient :
DH=\sqrt{\left( \dfrac{-1}{5} \right)^2+\left( \dfrac{-3}{5} \right)^2+\left(-1 \right)^2}
Puis :
DH=\sqrt{ \dfrac{1}{25} +\dfrac{9}{25} +1}
Et finalement :
DH=\sqrt{ \dfrac{35}{25} }=\dfrac{\sqrt{35}}{5}
En arrondissant au centième, on obtient :
DH\approx1{,}18
La distance du point D au plan (ABC), arrondie au centième, est de 1,18.