Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.
Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}), on considère les points :
A(2 ; 1 ; -1), B(-1 ; 2 ; 1) et C(5 ; 0 ; -3).
On note P le plan d'équation cartésienne :
x + 5y - 2z + 3 = 0
On note D la droite de représentation paramétrique :
\begin{cases} x = -t + 3 \cr \cr y = t + 2 \cr \cr z = 2t + 1 \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Affirmation 1 :
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est normal au plan (OAC).
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Le vecteur \overrightarrow{OA} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{OC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 5 \cr\cr 0 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées deux à deux ne sont pas proportionnelles.
Donc les points O, A et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan.
D'autre part, on a :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{OA}=2+0-2=0
Donc le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{OA} du plan (OAC).
Mais d'autre part, on a :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{OC}=5+0-6=-1\neq0
Donc le vecteur \overrightarrow{n} n'est pas orthogonal au vecteur \overrightarrow{OC} du plan (OAC).
Par conséquent, le vecteur \overrightarrow{n} n'est pas normal au plan (OAC).
L'affirmation « Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix} est normal au plan (OAC) » est fausse.
Affirmation 2 :
Les droites D et (AB) sont sécantes au point C.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
On a :
M(x;y;z)\in(AB)\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB} avec k\in\mathbb{R}
Or, on a :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2 \cr\cr y-1 \cr\cr z+1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
On en déduit donc :
M\in(AB)\Leftrightarrow\begin{cases} x - 2 = -3k \cr \cr y - 1 = 1k \cr \cr z + 1 = 2k \end{cases}, k\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=2-3k \cr \cr y=1+k \cr \cr z=-1+2k \end{cases}, k\in\mathbb{R}
Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc :
\begin{cases} x=2-3k \cr \cr y=1+k \cr \cr z=-1+2k \end{cases}, k\in\mathbb{R}
On sait par ailleurs qu'une représentation paramétrique de la droite D est :
\begin{cases} x = -t + 3 \cr \cr y = t + 2 \cr \cr z = 2t + 1 \end{cases}, t\in\mathbb{R}.
Par conséquent :
M\in(AB)\cap{D}\Leftrightarrow\begin{cases} 2 - 3k = 3 - t \cr \cr 1 + k = 2 + t \cr \cr -1 + 2k = 1 + 2t \end{cases}
En remplaçant L_1 par L_1+L_2 et L_3 par L_3+2L_2, le système précédent est équivalent à :
\begin{cases} 3-2k=5 \cr \cr 1 + k = 2 + t \cr \cr -4k=-4 \end{cases}
Ce qui est encore équivalent à :
\begin{cases} k=-1 \cr \cr t=- 2 \cr \cr k=-1 \end{cases}
Ainsi, on a :
k=-1 et t=-2
En remplaçant k par -1 dans la représentation paramétrique de la droite (AB), on obtient les coordonnées du point d'intersection des droites D et (AB) :
\begin{cases} x=2-3\times(-1)=5 \cr \cr y=1+(-1)=0 \cr \cr z= -1+2\times(-1)=-3 \end{cases}
On observe que ces coordonnées sont celles du point C.
On en conclut que les droites D et (AB) sont sécantes en C.
L'affirmation « Les droites D et (AB) sont sécantes en C » est vraie.
Affirmation 3 :
La droite D est parallèle au plan P.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Si un point M(x;y;z) commun à la droite D et au plan P, alors ses coordonnées vérifient :
- la représentation paramétrique de la droite D ;
- l'équation cartésienne du plan P.
Autrement dit, les coordonnées d'un tel point M(x;y;z) vérifient le système :
\begin{cases} x = -t + 3 \cr \cr y = t + 2 \cr \cr z = 2t + 1 \cr \cr x + 5y - 2z + 3 = 0 \end{cases}, t\in\mathbb{R}
D'où, en remplaçant dans l'équation du plan x, y et z par leurs valeurs en fonction de t :
-t+3+5(t+2)-2(2t+1)+3=0
Ce qui est équivalent à :
-t+3+5t+10-4t-2+3=0
Ce qui est finalement équivalent à :
14=0
Cette équation n'admettant pas de solution, on en déduit qu'il n'existe aucun point commun à la droite D et au plan P.
Ainsi, la droite D et le plan P sont strictement parallèles.
L'affirmation « La droite D est parallèle au plan P » est vraie.
Affirmation 4 :
Le plan médiateur du segment [BC], noté Q, a pour équation cartésienne :
3x - y - 2z - 7 = 0
(On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.)
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Considérons Q le plan qui a pour équation cartésienne 3x - y - 2z - 7 = 0.
Montrons que Q est le plan médiateur du segment [BC].
Nommons H le milieu du segment [BC] et déterminons les coordonnées du point H :
H\left( \dfrac{-1+5}{2};\dfrac{2+0}{2};\dfrac{1-3}{2}\right)
On obtient :
H\left( 2;1;-1\right)
Vérifions que le point H appartient au plan Q.
On a :
3\times2 - 1 - 2\times(-1) - 7 = 6-1+2-7=0
Ainsi, les coordonnées du point H vérifient l'équation cartésienne du plan Q.
On en conclut que le point H appartient au plan Q.
Autrement dit, le plan Q passe par le milieu du segment [BC].
Montrons maintenant que le plan Q est perpendiculaire à [BC].
Le vecteur \overrightarrow{BC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 5-(-1) \cr\cr 0-2 \cr\cr -3-1 \end{pmatrix}.
On obtient :
\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -2 \cr\cr -4 \end{pmatrix}
On sait que l'équation cartésienne du plan Q est 3x - y - 2z - 7 = 0.
On en déduit que le vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan Q.
On remarque que \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{v}.
Par conséquent, le vecteur \overrightarrow{BC} est également normal au plan Q.
Autrement dit, le plan Q est perpendiculaire à la droite (BC).
En conclusion, le plan Q est le plan perpendiculaire au segment [BC] et passant par son milieu.
Le plan Q est donc le plan médiateur du segment [BC].
L'affirmation « Le plan médiateur du segment [BC], noté Q, a pour équation cartésienne 3x - y - 2z - 7 = 0 » est vraie.