On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BD].
On définit le point L tel que \overrightarrow{IL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IG}.
On se place dans le repère orthonormé (A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).
Quelles sont les coordonnées du point D ?
Les coordonnées du point D sont (0;1;0).
Quelles sont les coordonnées du point B ?
Les coordonnées du point B sont (1;0;0).
Quelles sont les coordonnées du point I ?
Quelles sont les coordonnées du point G ?
Quelles sont les coordonnées du point L ?
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IG} :
\begin{pmatrix} x_G-x_I \cr\cr y_G-y_I \cr\cr z_G-z_I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-\dfrac{1}{2} \cr\cr 1-\dfrac{1}{2} \cr\cr 1-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr 1 \end{pmatrix}
On exprime les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IL} :
\begin{pmatrix} x_L-x_I \cr\cr y_L-y_I \cr\cr z_L-z_I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_L-\dfrac{1}{2} \cr\cr y_L-\dfrac{1}{2} \cr\cr z_L-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_L-\dfrac{1}{2} \cr\cr y_L-\dfrac{1}{2} \cr\cr z_L \end{pmatrix}
On sait que :
\overrightarrow{IL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IG}
On en déduit les équivalences suivantes :
\overrightarrow{IL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IG}
\Leftrightarrow\begin{cases} x_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2} \cr \cr y_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2} \cr \cr z_L=\dfrac{3}{4}\times1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x_L=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2} \cr \cr y_L=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2} \cr \cr z_L=\dfrac{3}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x_L=\dfrac{7}{8} \cr \cr y_L=\dfrac{7}{8} \cr \cr z_L=\dfrac{3}{4} \end{cases}
Les coordonnées du point L sont \left( \dfrac{7}{8};\dfrac{7}{8};\dfrac{3}{4} \right).
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation cartésienne du plan (BDG) ?
On considère P le plan d'équation cartésienne x + y - z - 1 = 0.
On remarque que les coordonnées du point B vérifient l'équation cartésienne du plan P :
1 + 0 - 0 - 1 = 0
On en déduit que le point B appartient au plan P.
On remarque ensuite que les coordonnées du point D vérifient l'équation cartésienne du plan P :
0 + 1 - 0 - 1 = 0
On en déduit que le point D appartient au plan P.
Puis on remarque que les coordonnées du point G vérifient l'équation cartésienne du plan P :
1 + 1 - 1 - 1 = 0
On en déduit que le point G appartient au plan P.
Ainsi, les points B, D et G sont trois points distincts appartenant au plan P.
On en conclut que le plan P est le plan (BDG).
Et par conséquent une équation cartésienne du plan BDG) est x + y - z - 1 = 0.
L'équation x + y - z - 1 = 0 est une équation cartésienne du plan P.
On considère la droite \delta perpendiculaire au plan (BDG) passant par L.
Laquelle de ces représentations paramétriques est une représentation paramétrique de la droite \delta ?
Une cartésienne du plan (BDG) est x + y - z - 1 = 0.
Par conséquent, un vecteur normal au plan (BDG) est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
La droite \delta est perpendiculaire au plan (BDG).
Donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite \delta.
Par ailleurs, on sait que le point L appartient à la droite \delta.
Donc la droite \delta est l'ensemble des points M (x ; y ; z) tels que \overrightarrow{LM}=t\overrightarrow{n} avec t\in \mathbb{R}.
On a les équivalences suivantes :
\overrightarrow{LM}=t\overrightarrow{n}
\Leftrightarrow\begin{cases} x-\dfrac{7}{8}=t\times1 \cr \cr y-\dfrac{7}{8}=t\times1 \cr \cr z-\dfrac{3}{4}=t\times(-1) \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t \cr \cr y=\dfrac{7}{8}+t \cr \cr z=\dfrac{3}{4}-t \end{cases}
Une représentation paramétrique de la droite \delta est :
\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t\cr \cr y=\dfrac{7}{8}+t \cr \cr z=\dfrac{3}{4}-t \end{cases} où t\in \mathbb{R}
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des droites \delta et (AE) ?
Une représentation paramétrique de la droite \delta est :
\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t\cr \cr y=\dfrac{7}{8}+t \cr \cr z=\dfrac{3}{4}-t \end{cases} où t\in \mathbb{R}
Le point K\left( 0;0;\dfrac{13}{8} \right) vérifie cette représentation paramétrique pour t=-\dfrac{7}{8} :
\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+\left( -\dfrac{7}{8} \right)=0\cr \cr y=\dfrac{7}{8}+\left( -\dfrac{7}{8} \right)=0 \cr \cr z=\dfrac{3}{4}-\left( -\dfrac{7}{8} \right)=\dfrac{13}{8} \end{cases}
Par conséquent, le point K\left( 0;0;\dfrac{13}{8} \right) appartient à la droite \delta.
Par ailleurs, on a :
\overrightarrow{AK}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr \dfrac{13}{8} \end{pmatrix} et \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
On observe que ces deux vecteurs sont colinéaires.
On en déduit que le point K\left( 0;0;\dfrac{13}{8} \right) appartient à la droite (AE).
En conclusion, le point K\left( 0;0;\dfrac{13}{8} \right) appartient à la droite \delta et à la droite (AE).
Donc le point K\left( 0;0;\dfrac{13}{8} \right) est le point d'intersection des droites \delta et (AE).
Les coordonnées du point d'intersection des droites \delta et (AE) sont \left( 0;0;\dfrac{13}{8} \right).
Que représente le point L pour le point K ?
Les points B, I, D et G sont quatre points distincts appartenant au plan (BDG).
Donc la droite (IG) appartient au plan (BDG).
Or, on sait que :
\overrightarrow{IL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IG}
Ainsi, le point L appartient à la droite (IG).
Et par conséquent, le point L appartient au plan (BDG).
Par ailleurs, on sait que :
- La droite \delta est perpendiculaire au plan (BDG).
- Le point K appartient à la droite \delta.
- Le point L appartient à la droite \delta.
On en déduit que le point L est le projeté orthogonal du point K sur le plan (BDG).
Le point L est le projeté orthogonal du point K sur le plan (BDG).
Quelle est la distance KL ?
Le point K a pour coordonnées \left( 0;0;\dfrac{13}{8}\right).
Le point L a pour coordonnées \left( \dfrac{7}{8};\dfrac{7}{8};\dfrac{3}{4}\right).
Donc la distance KL est égale à :
\sqrt{\left( \dfrac{7}{8}-0 \right)^2+\left( \dfrac{7}{8}-0 \right)^2+\left( \dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{8} \right)^2}
On obtient :
\sqrt{\left( \dfrac{7}{8} \right)^2+\left( \dfrac{7}{8} \right)^2+\left(\dfrac{-7}{8} \right)^2}
Puis :
\sqrt{\dfrac{3\times49}{64}}
Ce qui donne finalement :
\dfrac{7\sqrt{3}}{8}
La distance KL est égale à \dfrac{7\sqrt{3}}{8}.
On admet que le triangle DBG est équilatéral.
Quelle est son aire ?
Le triangle DBG est équilatéral, donc chacun de ses angles a une mesure de \dfrac{\pi}{3}.
Le point I est le milieu du segment [BD] donc I est aussi le pied de la hauteur issue de G dans le triangle DBG.
Ainsi, le triangle GIB est rectangle en I.
Dans le triangle GIB rectangle en I, on a : \text{sin}\left( \widehat{IBG} \right)=\dfrac{IG}{BG}.
[BG] est une diagonale du carré BCGF de côté 1, donc BG=\sqrt2.
Par conséquent, on a :
\text{sin}\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{IG}{\sqrt2}
Puis :
\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{IG}{\sqrt2}
On déduit que :
IG=\dfrac{\sqrt2\times\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt6}{2}
Par ailleurs, [BD] est une diagonale du carré ABCD de côté 1, donc BD = \sqrt2.
On peut maintenant calculer l'aire du triangle DBG de la manière suivante :
\dfrac{BD\times{IG}}{2}=\dfrac{\sqrt2\times{\dfrac{\sqrt6}{2}}}{2}
Et on obtient finalement :
\dfrac{\sqrt3}{2}
L'aire du carré DBG est égale à \dfrac{\sqrt3}{2}.
Quel est le volume du tétraèdre KDBG ?
On rappelle que :
• le volume d'une pyramide est donné par la formule V=\dfrac{1}{3}\times{B}\times{h} où B est l'aire d'une base et h la longueur de la hauteur relative a cette base ;
• un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
Le tétraèdre KDBG a pour base le triangle BDG et pour hauteur KL.
Le volume du (\KDBG\) se calcule ainsi :
V=\dfrac{1}{3}\times{B}\times{h}
On obtient :
V=\dfrac{1}{3}\times{\text{Aire }(BDG)}\times{KL}
Or, l'aire du triangle BDG est égale à \dfrac{\sqrt{3}}{2} et KL=\dfrac{7\sqrt{3}}{8}.
Par conséquent :
V=\dfrac{1}{3}\times{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\times{\dfrac{7\sqrt{3}}{8}}
On obtient finalement :
V=\dfrac{7}{16}
Le volume du tétraèdre KDBG est égal à \dfrac{7}{16}.
On désigne par a un réel appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[ et on note K_a le point de coordonnées (0 ; 0 ; a).
Quelle est l'expression du volume V_a de la pyramide ABCDK_a en fonction de a ?
On veut exprimer le volume V_a de la pyramide ABCDK_a en fonction de a.
La base de la pyramide est le carré ABCD d'aire 1.
Par ailleurs, le point K_a a pour coordonnées (0 ; 0 ; a) donc il appartient à la droite (AE).
Donc AK_a est la hauteur de la pyramide ABCDK_a.
On a :
AK_a=a
On calcule donc le volume V_a de la pyramide ABCDK_a ainsi :
V_a=\dfrac{1}{3}\times{B}\times{h}=\dfrac{1}{3}\times{1}\times{a}
On obtient :
V_a=\dfrac{a}{3}
L'expression du volume V_a de la pyramide ABCDK_a en fonction de a est \dfrac{a}{3}.
On note ∆_a la droite de représentation paramétrique \begin{cases} x = t' \cr \cr y = t '\cr \cr z= -t' + a \end{cases} où t'\in\mathbb{R}.
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite ∆_a avec le plan (BDG) ?
La droite ∆_a a pour représentation paramétrique \begin{cases} x = t' \cr \cr y = t' \cr \cr z= -t '+ a \end{cases} où t'\in\mathbb{R}.
On appelle L_a le point d'intersection de la droite ∆_a avec le plan (BDG).
Les coordonnées du point L_a vérifient d'une part la représentation paramétrique de la droite ∆_a et d'autre part une équation cartésienne du plan (BDG), à savoir : x + y - z - 1 = 0.
Ainsi, les coordonnées du point L_a vérifient le système (S) suivant :
\begin{cases} x = t' \cr \cr y=t' \cr \cr z=-t'+a \cr \cr x + y - z - 1 = 0 \end{cases}
On a les équivalences suivantes :
(S) \Leftrightarrow\begin{cases} x = t' \cr \cr y=t' \cr \cr z=-t'+a \cr \cr t' + t' - (-t'+a) - 1 = 0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x = t'\cr \cr y=t' \cr \cr z=-t'+a \cr \cr 3t'=a+1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{a+1}{3} \cr \cr y=\dfrac{a+1}{3} \cr \cr z=-\dfrac{a+1}{3}+a \cr \cr t'=\dfrac{a+1}{3} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x =\dfrac{a+1}{3} \cr \cr y=\dfrac{a+1}{3} \cr \cr z=\dfrac{2a-1}{3} \cr \cr t'=\dfrac{a+1}{3} \end{cases}
Les coordonnées du point d'intersection de la droite ∆_a avec le plan (BDG) sont \left( \dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3} \right).
Pour quel réel strictement positif a le tétraèdre GDBK_a et la pyramide ABCDK_a sont-ils de même volume ?
On veut exprimer le volume de la pyramide GDBK_a en fonction de a.
On choisit comme base de la pyramide le triangle GDB.
Son aire est égale à \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
La hauteur de la pyramide GDBK_a associée à cette base est K_aL_a.
On calcule K_aL_a ainsi :
K_aL_a=\sqrt{\left( \dfrac{a+1}{3}-0 \right)^2+\left( \dfrac{a+1}{3}-0 \right)^2+\left( \dfrac{2a-1}{3}-a \right)^2}
On obtient :
K_aL_a=\sqrt{\dfrac{(a+1)^2}{9}+\dfrac{(a+1)^2}{9}+\dfrac{(a+1)^2}{9}}
Puis :
K_aL_a=\dfrac{a+1}{\sqrt3}
On calcule donc le volume de la pyramide GDBK_a ainsi :
V=\dfrac{1}{3}\times{B}\times{h}=\dfrac{1}{3}\times{\dfrac{\sqrt3}{2}}\times{\dfrac{a+1}{\sqrt3}}
On obtient :
V=\dfrac{a+1}{6}
On sait par ailleurs que le volume de la pyramide BCDK_a est égal à \dfrac{a}{3}.
Par conséquent, le tétraèdre GDBK_a et la pyramide BCDK_a sont de même volume si et seulement si \dfrac{a+1}{6}=\dfrac{a}{3}.
On a les équivalences suivantes :
\dfrac{a+1}{6}=\dfrac{a}{3}\\\Leftrightarrow a+1=2a\\\Leftrightarrow a = 1
Le réel strictement positif a pour lequel le tétraèdre GDBK_a et la pyramide ABCDK_a sont de même volume est 1.