ABC est un triangle rectangle en C tel que AB=13\text{ cm}, AC=12\text{ cm} et BC=5\text{ cm}.
Que vaut le cosinus de l'angle \widehat{ABC} ?
On schématise le triangle ABC avec les données de l'énoncé, et on code l'angle \widehat{ABC}.
On repère :
- L'hypoténuse du triangle. C'est le côté opposé à l'angle droit donc c'est \left[ AB \right].
- Le côté adjacent à \widehat{ABC}. C'est le côté de l'angle \widehat{ABC} qui va vers l'angle droit, donc c'est \left[ BC \right].
Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique la formule :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{ \text {Longueur du côté adjacent à } \widehat{ABC}}{\text {Longueur de l'hypoténuse}}
Ainsi :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{13}
On peut vérifier mentalement que le numérateur est inférieur au dénominateur. Ainsi, le cosinus trouvé est bien inférieur à 1.
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{5}{13}
EFG est un triangle rectangle en E tel que EF=2{,}4\text{ cm}, FG=2{,}5\text{ cm} et EG=0{,}7\text{ cm}.
Que vaut le cosinus de l'angle \widehat{EFG} ?
On schématise le triangle EFG avec les données de l'énoncé. On repère l'angle \widehat{EFG} ainsi que :
- L'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit donc c'est \left[ FG \right].
- Le côté adjacent à \widehat{EFG}. C'est le côté de l'angle \widehat{EFG} qui va vers l'angle droit donc c'est \left[ FE \right].
Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique la formule :
\cos\left(\widehat{EFG}\right)=\dfrac{ \text {Longueur du côté adjacent à } \widehat{EFG}}{\text {Longueur de l'hypoténuse}}
Ainsi :
\cos\left(\widehat{EFG}\right)=\dfrac{EF}{GF}=\dfrac{2{,}4}{2{,}5}=\dfrac{24}{25}
On vérifie mentalement que le résultat est cohérent : le numérateur est inférieur au dénominateur donc le cosinus trouvé est bien inférieur à 1.
\cos\left(\widehat{EFG}\right)=\dfrac{24}{25}
LKJ est un triangle rectangle en K tel que KL=3{,}3\text{ cm}, JK=5{,}6\text{ cm} et JL=6{,}5\text{ cm}.
Que vaut le cosinus de l'angle \widehat{KJL} ?
On schématise le triangle LKJ. On écrit les données de l'énoncé et on code l'angle \widehat{KJL}.
On repère :
- L'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit donc c'est \left[ JL \right].
- Le côté adjacent à \widehat{KJL}. C'est le côté de l'angle \widehat{KJL} qui va vers l'angle droit donc c'est \left[ JK \right].
Dans le triangle LKJ rectangle en K, on sait que :
\cos\left(\widehat{KJL}\right)=\dfrac{ \text {Longueur du côté adjacent à } \widehat{KJL}}{\text {Longueur de l'hypoténuse}}
Ainsi :
\cos\left(\widehat{KJL}\right)=\dfrac{JK}{JL}=\dfrac{5{,}6}{6{,}5}=\dfrac{56}{65}
On vérifie mentalement que le résultat est cohérent : le numérateur est inférieur au dénominateur donc le cosinus trouvé est bien inférieur à 1.
\cos\left(\widehat{KJL}\right)=\dfrac{56}{65}
Que vaut le cosinus de l'angle \widehat{DAC} de la figure suivante ?
Sur la figure, on code l'angle \widehat{DAC}. Pour trouver son cosinus, \widehat{DAC} doit être un angle d'un triangle rectangle. Ici, on se place dans le triangle ACD rectangle en D.
On repère :
- L'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit donc c'est \left[ AC \right].
- Le côté adjacent à \widehat{DAC}. C'est le côté de \widehat{DAC} qui va vers l'angle droit donc c'est \left[ AD \right].
Dans le triangle ADC rectangle en D, on a :
\cos\left(\widehat{DAC}\right)=\dfrac{ \text {Longueur du côté adjacent à } \widehat{DAC}}{\text {Longueur de l'hypoténuse}}=\dfrac{AD}{AC}
Ainsi :
\cos\left(\widehat{DAC}\right)=\dfrac{7{,}2}{9{,}7}
On vérifie que le numérateur est inférieur au dénominateur ; le cosinus trouvé est bien inférieur à 1.
\cos\left(\widehat{DAC}\right)=\dfrac{7{,}2}{9{,}7}
Que vaut le cosinus de l'angle \widehat{IJL} de la figure suivante ?
Image personnelle
On code l'angle \widehat{IJL} sur la figure. Pour calculer son cosinus, \widehat{IJL} doit être un angle dans un triangle rectangle. Ici, on se place dans le triangle IJM rectangle en M.
On repère :
- L'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit donc c'est \left[ IJ \right].
- Le côté adjacent à \widehat{IJL}. C'est le côté de l'angle \widehat{IJL} qui va vers l'angle droit donc c'est \left[ JM \right].
Dans le triangle IJM, rectangle en M, on sait que :
\cos\left(\widehat{IJL}\right)=\dfrac{ \text {Longueur du côté adjacent à } \widehat{IJL}}{\text {Longueur de l'hypoténuse}}=\dfrac{JM}{IJ}
JM est la moitié de JL donc JM=32\div2=16\text{ cm}.
Ainsi :
\cos\left(\widehat{IJL}\right)=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}
On vérifie que le numérateur est inférieur au dénominateur donc le cosinus est bien inférieur à 1.
\cos\left(\widehat{IJL}\right)=\dfrac{4}{5}