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  4. Cours : La trigonométrie dans le triangle rectangle

La trigonométrie dans le triangle rectangle Cours

Sommaire

ILes côtés d'un triangle rectangleIILe cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangleALe cosinus1Définition du cosinus2Les caractéristiques du cosinusBLe sinus1Définition du sinus2Les caractéristiques du sinusCLa tangente1Définition de la tangente2Les caractéristiques de la tangenteIIILes calculs de longueursALes calculs de longueurs à partir du cosinusBLes calculs de longueurs à partir du sinusCLes calculs de longueurs à partir de la tangenteIVLes calculs de mesures d'anglesALes calculs de mesures d'angles à partir du cosinusBLes calculs de mesures d'angles à partir du sinusCLes calculs de mesures d'angles à partir de la tangente
I

Les côtés d'un triangle rectangle

Les trois côtés d'un triangle sont appelés « côté adjacent à l'angle », « côté opposé à l'angle » et « hypoténuse ».

Côté adjacent

On considère un triangle ABC rectangle en A.

Le côté \left[ AC \right] est appelé « côté adjacent » à l'angle \widehat{ACB}.

-

Côté opposé

On considère un triangle ABC rectangle en A.

Le côté \left[ AB \right] est appelé « côté opposé » à l'angle \widehat{ACB}.

-

Hypoténuse

On considère un triangle ABC rectangle en A.

Le côté \left[ BC \right] est appelé « hypoténuse » du triangle ABC.

-
II

Le cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangle

Le cosinus, le sinus et la tangente sont des rapports de longueurs qui ne dépendent que de la mesure de l'angle aigu concerné. Pour les trouver, on calcule des rapports de longueurs entre les côtés du triangle. Les longueurs de côtés utilisées diffèrent selon ce que l'on cherche.

A

Le cosinus

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est un rapport de longueurs qui ne dépend que de la mesure de l'angle. On le calcule à partir des longueurs de l'hypoténuse et du côté adjacent à l'angle.

1

Définition du cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.

Le cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu \alpha est égal à :

\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Longueur du côté adjacent}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}}

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
  • \cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
2

Les caractéristiques du cosinus

Le cosinus d'un angle dépend uniquement de la mesure de cet angle. Il est compris entre 0 et 1 et n'a pas d'unité.

On considère un triangle ABC rectangle en A.

-

Le rapport \dfrac{AC}{BC} ne dépend que de la mesure l'angle \widehat{ACB}.

Autrement dit, le rapport \dfrac{\text{Longueur du côté adjacent à }\widehat{ACB}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}} ne dépend que de la mesure de l'angle \widehat{ACB}.

Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

On reprend l'exemple précédent.

-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
  • \cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}

On a bien :
0\leq \cos\left(\widehat{ABC}\right)\leq 1
et
0\leq \cos\left(\widehat{ACB}\right)\leq 1

Comme le cosinus d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité.

Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.

B

Le sinus

Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est un rapport de longueurs qui ne dépend que de la mesure de l'angle. On le calcule à partir des longueurs de l'hypoténuse et du côté opposé à l'angle.

1

Définition du sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu \alpha est égal à :

\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}}

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
  • \sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
2

Les caractéristiques du sinus

Le sinus d'un angle dépend uniquement de la mesure de cet angle. Il est compris entre 0 et 1 et n'a pas d'unité.

On considère un triangle ABC rectangle en A.

-

Le rapport \dfrac{AB}{BC} ne dépend que de la mesure l'angle \widehat{ACB}.

Autrement dit, le rapport \dfrac{\text{Longueur du côté opposé à }\widehat{ACB}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}} ne dépend que de la mesure de l'angle \widehat{ACB}.

Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

On reprend l'exemple précédent.

-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
  • \sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

On a bien :
0\leq \sin\left(\widehat{ABC}\right)\leq 1
et
0\leq \sin\left(\widehat{ACB}\right)\leq 1

Comme le sinus d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité.

Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.

C

La tangente

La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est un rapport de longueurs qui ne dépend que de la mesure de l'angle. On le calcule à partir des longueurs du côté adjacent et du côté opposé à l'angle.

1

Définition de la tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est égale au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur du côté adjacent à ce même angle.

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu \alpha est égale à :

\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur du côté adjacent}}

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
  • \tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
2

Les caractéristiques de la tangente

La tangente d'un angle dépend uniquement de la mesure de cet angle. Il est compris entre 0 et 1 et n'a pas d'unité.

On considère un triangle ABC rectangle en A.

-

Le rapport \dfrac{AB}{AC} ne dépend que de la mesure l'angle \widehat{ACB}.

Autrement dit, le rapport \dfrac{\text{Longueur du côté opposé à }\widehat{ACB}}{\text{Longueur du côté adjacent à }\widehat{ACB}} ne dépend que de la mesure de l'angle \widehat{ACB}.

La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.

On reprend l'exemple précédent.

-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
  • \tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

Sur cet exemple, on a :
1\leq \tan\left(\widehat{ABC}\right)
et
0\leq \tan\left(\widehat{ACB}\right)\leq 1

Comme la tangente d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité.

La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.

III

Les calculs de longueurs

Les formules définissant le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permettent de calculer des longueurs de côtés à partir de la mesure d'un des angles aigus et de la longueur d'un des côtés. On choisit la formule la plus utile en fonction de ce que l'on connaît et du côté dont on cherche la longueur.

A

Les calculs de longueurs à partir du cosinus

Quand on connaît la mesure des angles aigus d'un triangle rectangle, ainsi que la longueur d'un des côtés, on peut calculer la longueur d'un autre côté triangle à l'aide de la formule du cosinus.

La formule définissant le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs de côtés à partir de :

  • la mesure d'un des angles aigus ;
  • la longueur d'un des côtés.

Le triangle MNP est rectangle en M.

On a les informations ci-dessous :

-

Dans le triangle MNP rectangle en M, on a :
\cos\left(\widehat{MNP}\right)=\dfrac{MN}{NP}
\cos\left(30°\right)=\dfrac{MN}{10}

On en déduit :
MN = 10\times \cos\left(30°\right)
MN \approx 8{,}66 \text{ cm}

Attention à bien régler sa calculatrice en degrés.

B

Les calculs de longueurs à partir du sinus

Quand on connaît la mesure des angles aigus d'un triangle rectangle, ainsi que la longueur d'un des côtés, on peut calculer la longueur d'un autre côté triangle à l'aide de la formule du sinus.

La formule définissant le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs de côtés à partir de :

  • la mesure d'un des angles aigus ;
  • la longueur d'un des côtés.

Le triangle MNP est rectangle en M.

On a les informations ci-dessous :

-

Dans le triangle MNP rectangle en M, on a :
\sin\left(\widehat{MNP}\right)=\dfrac{MP}{NP}
\sin\left(30°\right)=\dfrac{MP}{10}

On en déduit :
MP = 10\times \sin\left(30°\right)
MP =5 \text{ cm}

C

Les calculs de longueurs à partir de la tangente

Quand on connaît la mesure des angles aigus d'un triangle rectangle ainsi que la longueur d'un des côtés, on peut calculer la longueur d'un autre côté du triangle à l'aide de la formule de la tangente.

La formule définissant la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs de côtés à partir de :

  • la mesure d'un des angles aigus ;
  • la longueur d'un des côtés.

Le triangle MNP est rectangle en M.

On a les informations ci-dessous :

-

Dans le triangle MNP rectangle en M, on a :
\tan\left(\widehat{MNP}\right)=\dfrac{MP}{MN}
\tan\left(30°\right)=\dfrac{8}{MN}

On en déduit :
MN = \dfrac{8}{\tan\left(30°\right)}
MN \approx 13{,}86 \text{ cm}

IV

Les calculs de mesures d'angles

Les formules définissant le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permettent de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs de deux des côtés du triangle. On choisit la formule la plus utile en fonction de ce que l'on connaît et de l'angle aigu dont on cherche la mesure.

A

Les calculs de mesures d'angles à partir du cosinus

Quand cherche la mesure d'un des angles aigus du triangle et que l'on connaît la longueur de son côté adjacent et de l'hypoténuse, on peut utiliser la formule du cosinus pour calculer la mesure de l'autre angle aigu du triangle.

La formule définissant le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse.

Le triangle TRI est rectangle en T.

On a les informations ci-dessous :

-

Dans le triangle TRI rectangle en T, on a :
\cos\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{TR}{RI}
\cos\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{7}{10}

On utilise alors la touche \cos^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{TRI}\approx 45{,}57°

Attention à bien régler sa calculatrice en degrés.

B

Les calculs de mesures d'angles à partir du sinus

Quand on cherche la mesure d'un des angles aigus d'un triangle et que l'on connaît la longueur de son côté opposé et de l'hypoténuse, on peut utiliser la formule du sinus pour calculer la mesure de l'autre angle aigu du triangle.

La formule définissant le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse.

Le triangle TRI est rectangle en T.

On a les informations ci-dessous :

-

Dans le triangle TRI rectangle en T, on a :
\sin\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{TI}{RI}
\sin\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{5}{10}

On utilise alors la touche \sin^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{TRI}=30°

C

Les calculs de mesures d'angles à partir de la tangente

Quand on cherche la mesure d'un des angles aigus d'un triangle et que l'on connaît les longueurs de son côté opposé et de son côté adjacent, on peut utiliser la formule de la tangente pour calculer la mesure de l'autre angle aigu du triangle.

La formule définissant la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs du côté adjacent de l'angle et du côté opposé à l'angle.

Le triangle TRI est rectangle en T.

On a les informations ci-dessous :

-

Dans le triangle TRI rectangle en T, on a :
\tan\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{TI}{TR}
\tan\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{5}{8}

On utilise alors la touche \tan^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{TRI}\approx 32{,}01°

Voir aussi
  • Quiz : La trigonométrie dans le triangle rectangle
  • Exercice : Différencier hypoténuse, côté adjacent et côté opposé
  • Exercice : Calculer le cosinus d'un angle de triangle rectangle à l'aide de la longueur des côtés
  • Exercice : Calculer le sinus d'un angle de triangle rectangle à l'aide de la longueur des côtés
  • Exercice : Calculer la tangente d'un angle de triangle rectangle à l'aide de la longueur des côtés
  • Exercice : Utiliser le cosinus dans un triangle rectangle pour calculer la longueur d'un côté
  • Exercice : Utiliser le cosinus dans un triangle rectangle pour calculer la mesure d'un angle
  • Exercice : Utiliser le sinus dans un triangle rectangle pour calculer la longueur d'un côté
  • Exercice : Utiliser le sinus dans un triangle rectangle pour calculer la mesure d'un angle
  • Exercice : Utiliser la tangente dans un triangle rectangle pour calculer la longueur d'un côté
  • Exercice : Utiliser la tangente dans un triangle rectangle pour calculer la mesure d'un angle
  • Exercice : Utiliser les relations de trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer la longueur d'un côté
  • Exercice : Utiliser les relations de trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer la mesure d'un angle

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