Les points O, A , B, C sont alignés dans cet ordre ainsi que O, A', B', C', les droites \left( AB' \right), \left( BC' \right) d'une part, et \left( B'C \right), \left( A'B \right) d'autre part, sont parallèles.
Placer les points O, A , B, C, A', B' et C' sur une figure de telle manière que l'angle \widehat{AOA'} soit un angle aigu.
On trace tout d'abord deux droites qu'on appellera d et d' formant un angle aigu qui se coupent en un point O .
On place alors sur la droite d les points A , B et C dans cet ordre en partant du point O.
On place maintenant un point B' sur la droite d'.
La droite parallèle à la droite \left( AB' \right) passant par B, coupe la droite d' en un point C'.
La droite parallèle à la droite \left( CB' \right) passant par le point B, coupe la droite d' en A'.
Déterminer si les droites \left( AA' \right) et \left( CC' \right) sont parallèles.
\left(AB'\right)//\left(BC'\right)
On remarque que les droites \left( AB' \right) et \left( BC' \right) sont parallèles et que les points O, A, B et O, B', C' sont alignés dans cet ordre.
On a donc d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OB'}{OC'}=\dfrac{AB'}{BC'}
On peut réécrire l'égalité \dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OB'}{OC'} de la manière suivante :
OA\times OC'=OB\times OB'
\left(A'B\right)//\left(B'C\right)
On remarque que les droites \left( A'B \right) et \left( B'C \right) sont parallèles et que les points O, B, C et O, A', B' sont alignés dans cet ordre.
On a donc d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OA'}{OB'}=\dfrac{BA'}{CB'}
On peut réécrire l'égalité \dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OA'}{OB'} de la manière suivante :
OA'\times OC=OB\times OB'
\left(AA'\right)//\left(CC'\right)
On a donc les deux égalités :
OA\times OC'=OB\times OB' et OA'\times OC=OB\times OB'
Cela donne : OA\times OC'=OA'\times OC
On en déduit que OB=\dfrac{\left(OA'\times OC\right)}{OB'}
Donc cela donne :
OA\times OC'=OB\times OB' = \dfrac{\left(OA'\times OC\right)}{OB'}\times OB'= OA'\times OC'
On en déduit l'égalité suivante :
\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OA'}{OC'}
On remarque que les points O, A, C et O, A', C' sont alignés dans le même ordre et que \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OA'}{OC'}.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les droites \left( AA' \right) et \left( CC' \right) sont parallèles.