Le mouvement d’un systèmeCours

I

Le mouvement d'un système et sa variation de vitesse

Pour décrire le mouvement d'un système, on utilise le vecteur vitesse instantanée. Pour évaluer la variation de vitesse d'un mouvement on utilise le vecteur variation de vitesse.

A

Le vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse instantanée permet de suivre l'évolution de la vitesse d'un système lors de son mouvement.

Vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse instantanée en un point de la trajectoire est une vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps aussi court que possible. Le sens est celui du mouvement et la direction est confondue avec la tangente en ce point.

définition vitesse instantanée
Trajectoire d'un point et vitesse instantanée 

À un instant t_i, le vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v\left(t_i\right)} d'un point mobile est caractérisé par :

  • Sa valeur v (exprimée en \text{m}.\text{s}^{-1}), qui est la vitesse instantanée du point mobile ;
  • Sa direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point M\left(t_i\right) ;
  • Son sens qui correspond au sens du mouvement à l'instant t_i.
caractéristique vecteur vitesse instantanée

Vecteur vitesse \overrightarrow{v(t_3)}

Expression du vecteur vitesse instantanée entre deux instants voisins

En un point M_i la valeur de la vitesse instantanée correspond à la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte. Elle est donc égale au rapport de la distance M_{i−1}M_{i+1} qui sépare les positions  M_{i−1} (occupée juste avant M_{i}) et M_{i+1} (occupée juste après M_{i}) par la durée écoulée \Delta t :

v_{\left(M_i\right)}= \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{ \Delta t}

Le plus souvent, la durée qui sépare deux positions successives du point mobile est constante. Si on note cet intervalle de temps constant \tau, alors la durée écoulée entre les positions M_{i−1} et M_{i+1} est \Delta t = 2\tau, d'où :
v_{\left(M_i\right)} = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2τ}

B

Le vecteur variation de vitesse

Pour évaluer la variation du vecteur vitesse à un instant donné, on effectue la différence vectorielle des vecteurs vitesse instantanée de deux instants voisins.

Vecteur variation de la vitesse instantanée

En un point M_i, le vecteur variation de la vitesse instantanée correspond à la différence entre les vecteurs vitesse instantanée \overrightarrow{v_{M_{i+1}}} et \overrightarrow{v_{M_{i-1}}} :

\overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}}=\overrightarrow{v_{M_{i}+1}}-\overrightarrow{v_{M_{i-1}}}

En pratique, pour tracer la différence des deux vecteurs et \overrightarrow{v_{(M_{i – 1})}}, on trace la somme des vecteurs \overrightarrow{v_{(M_{i+ 1})}} et –\overrightarrow{v_{(M_{i – 1})}}.

Le vecteur variation de la vitesse instantanée de la moto à la date t = t_3 s'obtient en traçant la somme des vecteurs \overrightarrow{v_{M_{4}}} et -\overrightarrow{v_{M_{2}}} :

\overrightarrow{ \Delta v_{M_{3}}}=\overrightarrow{ v_{M_{4}}}-\overrightarrow{ v_{M_{2}}}

définition vecteur variation vitesse instantanée

La variation du vecteur vitesse instantanée d'un système est due à l'existence d'actions mécanique extérieures qui ne se compensent pas. 

Ainsi, en un point M_i, le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}} a même direction et même sens que la somme des forces extérieures que subit le système.

II

L'effet des forces extérieures sur le mouvement du système

La somme des forces extérieures appliquées à un système est reliée à son mouvement. Si la somme des forces est nulle, le système est en inertie. Si la somme des forces n'est pas nulle, la somme est reliée à la variation du vecteur vitesse du système par une approche de la 2e loi de Newton. On peut alors interpréter le mouvement d'un système dans le cas d'une chute libre.

A

La somme des forces appliquées au système

Pour analyser le mouvement d'un système, on doit effectuer la somme des forces qu'il subit.

L'effet de plusieurs forces peut s'annuler, on dit alors qu'elles se compensent. Leur somme vectorielle est égale au vecteur nul \overrightarrow{ 0 }.

  • Dans le cas de deux forces, il faut qu'elles aient la même direction, la même valeur et des sens opposés :

Un livre est posé sur une table.

-

Le poids et la réaction normale qu'il subit se compensent : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ R_N } = \overrightarrow{ 0 }.

En effet, ces forces ont bien la même direction (verticale), des sens opposés et la même valeur (puisque représentées par des vecteurs de même longueur).

  • Dans le cas de trois forces, seule une construction vectorielle permet de conclure si elles se compensent ou pas : 

Un skieur descend une piste rectiligne.

somme forces appliquées système

Le poids, la réaction normale et les frottements qu'il subit se compensent : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ R_N } + \overrightarrow{ f } = \overrightarrow{ 0 }. En effet on peut observer par construction que la somme de \overrightarrow{P} et de \overrightarrow{f} est de même direction et de même valeur que \overrightarrow{R_N} mais de sens opposé. Par conséquent, la somme vectorielle des trois vecteurs est bien nulle.

Lors du mouvement du système, tout se passe comme s'il était soumis à une seule force, qui est la somme de celles qu'il subit (parfois appelée « résultante des forces »). Elle s'obtient en additionnant les vecteurs modélisant les forces extérieures exercées sur le système.

Une moto en mouvement rectiligne accéléré sur une route horizontale est soumise à trois forces extérieures : son poids, la réaction normale du sol et la force exercée par le moteur.

-

Ici, le poids et la réaction normale se compensent, la somme des forces extérieures que subit la moto se réduit alors à la force \overrightarrow{F} :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_{N}} + \overrightarrow{F}
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{0} + \overrightarrow{F}
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{F}

B

Le principe d'inertie

Le principe d'inertie permet de relier le mouvement d'un système aux forces qu'il subit.

Principe d'inertie

Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, tout corps soumis à des forces extérieures qui se compensent (ou en l'absence de forces) persévère :

  • dans son état de repos si sa vitesse initiale est nulle ;
  • dans son mouvement rectiligne et uniforme si sa vitesse initiale n'est pas nulle. 

Dans le référentiel terrestre, le livre ci-dessous est soumis à des forces qui se compensent \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ R_N } = \overrightarrow{ 0 }.

Sa vitesse initiale étant nulle, il demeurera au repos.

loi principe d'inertie

On peut aussi utiliser la contraposée du principe de l'inertie, c'est-à-dire inverser la relation de cause à effet du principe d'inertie à savoir :

Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, si un corps n'est ni au repos ni en mouvement rectiligne et uniforme, alors on peut en déduire que les forces extérieures qui s'exercent sur lui ne se compensent pas. 

Dans le référentiel terrestre, un skieur descend une piste selon un mouvement est rectiligne et accéléré.

corps pas au repos forces extérieures ne se compensent pas

On en déduit que les forces qu'il subit ne se compensent pas : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ R_N } + \overrightarrow{f}\neq \overrightarrow{ 0 }.

On appelle « référentiels galiléens » les référentiels dans lesquels le principe de l'inertie est vérifié.

Les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique sont galiléens, ainsi que tous les référentiels liés à un solide en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à eux.

C

L'approche de la 2e loi de Newton

Au cours du mouvement d'un système, la variation de son vecteur vitesse instantanée est due à l'existence d'actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas. Cette interprétation est une approche de la 2e loi de Newton.

2e loi de Newton

La version approchée de la deuxième loi de Newton relie le vecteur variation de la vitesse instantanée d'un système à la somme des forces extérieures appliquées au système :

\sum_{}^{}\overrightarrow{ F_{ext} }= m \times \dfrac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t}

La connaissance de la somme des forces extérieures subies par le système permet donc de prévoir les variations de son vecteur vitesse instantanée.

D'après la version approchée de la 2e loi de Newton :

  • Le vecteur variation de la vitesse instantanée a même direction et même sens que la somme des forces extérieures appliquées au système.
  • La valeur du vecteur variation de la vitesse instantanée augmente avec la valeur de la somme des forces extérieures.
  • Les effets de la somme des forces extérieures sont plus importants pour les systèmes de petite masse.

Une moto est en mouvement rectiligne accéléré sur une route horizontale. Elle est soumise à trois forces extérieures : son poids, la réaction normale du sol et la force exercée par le moteur.

propriétés 2e loi Newton

Ici, le poids et la réaction normale se compensent, la somme des forces extérieures que subit la moto se réduit alors à la force \overrightarrow{F} :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_{N}} + \overrightarrow{F}
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{0} + \overrightarrow{F}
\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{F}

Au point M_{3}, on représente le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{3}} en construisant la différence des vecteurs vitesse instantanée v et v :
\overrightarrow{\Delta v_{3}} = \overrightarrow{v_{4}}-{\overrightarrow{v_{2}}}

-

Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{3}} a donc bien la même direction et le même sens que la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur la moto et qui se réduit à la force \overrightarrow{F} exercée par le moteur.