Mouvement d’un système Cours

Sommaire

IDescription du mouvement et de sa variationALe vecteur vitesse1La vitesse instantanée2Les caractéristiques du vecteur vitesse instantanéeBLe vecteur variation de vitesseIIEffet des forces extérieures sur le mouvement du systèmeALa somme des forces appliquées au systèmeBPrincipe d'inertieCApproche de la deuxième loi de NewtonDCas de la chute libreIIIRécapitulatif

 

 

Notions À savoir
Chronophotographie Figure rassemblant les positions successives d'un système, séparées par une durée constante, notée généralement \tau.
Description d'un mouvement

Un mouvement est décrit en utilisant deux adjectifs : 

  • un pour indiquer la trajectoire (rectiligne, curviligne, circulaire, etc.) ;
  • et un autre pour préciser l'évolution de la vitesse (accéléré, uniforme ou ralenti).
Poids  \overrightarrow{P}

Modélise l'action qu'un astre exerce sur les corps situés dans leur voisinage. 

C'est une force verticale, de valeur  P = m \times g, où g est l'intensité de la pesanteur.

Réaction normale \overrightarrow{R_N}

Modélise l'action d'un support sur un corps. C'est une force perpendiculaire au support.

Système Ensemble de corps dont on étudie le mouvement. En pratique, on résume son étude à celui d'un seul point, son centre d'inertie.
Référentiel

Objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système. 

Le choix judicieux d'un référentiel permet de simplifier la description du mouvement du système.

Vecteur déplacement  \overrightarrow{OM_{(t)}}

Permet de suivre le centre d'inertie d'un système au cours de son mouvement : le centre d'inertie dans un repère (Oxy).

Vitesse moyenne  v

Rapport de la distance parcourue  d  à la durée écoulée Δt . 

Son unité est le mètre par seconde (m·s–1).

v_{(\text{m$\cdot$s}^{–1})} = \dfrac{d_{(\text{m})}}{\Delta t_{(\text{s})}}
Le poids

Le poids

-
Vecteur déplacement

Vecteur déplacement

I

Description du mouvement et de sa variation

A

Le vecteur vitesse

1

La vitesse instantanée

La vitesse instantanée d'un système correspond à sa vitesse moyenne, mais calculée sur une durée très courte. 

Vitesse instantanée

En un point Mi, la vitesse instantanée est égale au rapport de la distance Mi − 1Mi + 1 qui sépare les positions Mi – 1 (occupée juste avant Mi) et Mi+ 1 (occupée juste après Mi) par la durée écoulée Δt :

vMi= M_{i − 1M}i + 1 \Delta t

Le plus souvent, la durée qui sépare deux positions successives du point mobile est constante. Si on la note , la durée écoulée entre les positions Mi – 1 et Mi+ 1 est ∆t = 2, d'où :

vMi= Mi -Mi+ 12 \tau

Avec cette expression, il est possible de calculer la vitesse instantanée d'un système sur une chronophotographie à une date donnée.

Calculer la vitesse instantanée du système au point M_7 sur la chronophotographie suivante.

On mesure la longueur du segment M_6M_8.

-
-

M_6M_8 = 1,0 \text{ cm}

On tient compte de l'échelle de la chronophotographie.

-

Ici, il est indiqué 1 cm ; 2 cm.

La longueur réelle du segment M_6M_8  est donc :

M_{6}M_{8} = 1,0 \times 2 = 2,0\text{ cm}

On repère la durée \tau qui sépare deux positions successives du système.

Ici, \tau = 0,25\text{ s}.

On effectue le calcul :

vM_{7}=M_{6}M_{8}\times2\tau=2,02\times0,25=4,0\text{ m$\cdot$s}^{–1}  

2

Les caractéristiques du vecteur vitesse instantanée

Les variations du vecteur position, en norme ou en direction, sont suivies à l'aide du vecteur vitesse instantanée.

À un instant t_i, le vecteur vitesse instantanée d'un point mobile est caractérisé par :

  • sa valeur v (exprimée en m·s−1), qui est la vitesse instantanée du point mobile ;
  • sa direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point M{(t_i)}, soit aussi par la direction de la droite M_{i – 1}M_{i+ 1} ;
  • son sens, qui correspond au sens du mouvement à l'instant t_i.

Ses propriétés permettent de tracer le vecteur vitesse instantanée d'un système sur une chronophotographie à une date donnée.

-

On cherche à tracer le vecteur vitesse instantanée au point M_7 sur la chronophotographie suivante.

-

On calcule la vitesse instantanée au point M_7.

vM_{7}=M_{6}M_{8}\times2\tau=2\times1,02\times0,25=4,0\text{ m$\cdot$s}^{–1}  

On détermine une échelle faisant correspondre les valeurs des vitesses instantanées et des longueurs en cm (en faisant en sorte que les vecteurs vitesse instantanée mesurent entre 1 et 3 cm environ) et on calcule la longueur correspondant au vecteur vitesse instantanée.

Ici, une échelle adaptée est 1 cm 2 m·s–1.

La longueur du  vecteur vitesse instantanée est donc : 

\dfrac{4,0 × 1}{2} = 2,0\text{ cm}

On trace la tangente au point M_7, qui peut aussi être approchée par celle de la droite (M_6M_8).

-

On trace le vecteur vitesse instantanée sachant que :

  • Sa direction est celle de la tangente tracée que l'on approche en traçant l'axe M_6M_8  ;
  • son origine est le point M_7  ;
  • son sens est donné par celui du mouvement ;
  • sa longueur a été déterminée à partir de la vitesse instantanée vM_{7}  et de l'échelle des vitesses.
-
B

Le vecteur variation de vitesse

Lors du mouvement du système, le vecteur vitesse instantanée peut varier au cours du temps. 

Vecteur variation de la vitesse instantanée

En un point M_i, le vecteur variation de la vitesse instantanée correspond à la différence entre les vecteurs vitesse instantanée   \overrightarrow v_{M_{i+1}}  et \overrightarrow{v_{M_{i-1}}}  :

\overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}}=\overrightarrow{v_{M_{i}+1}}-\overrightarrow{v_{M_{i-1}}}

En pratique, pour tracer la différence des deux vecteurs et \overrightarrow{v_{(M_{i – 1}}},  on trace la somme des vecteurs \overrightarrow{v_{(M_{i+ 1}}} et –\overrightarrow{v_{(M_{i – 1}}}.

Le vecteur variation de la vitesse instantanée de la moto à la date t = t3 s'obtient en traçant la somme des vecteurs \overrightarrow{x_{M_{4}}}  et -\overrightarrow{x_{M_{2}}} :

\overrightarrow{ \Delta v_{M_{3}}}=\overrightarrow{ v_{M_{4}}}-\overrightarrow{  v_{M_{2}}}

-

La variation du vecteur vitesse instantanée d'un système est due à l'existence d'actions mécanique extérieures qui ne se compensent pas. 

Ainsi, en un point M_i, le vecteur variation de la vitesse instantanée   \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}} a même direction et même sens que la somme des forces extérieures que subit le système.

II

Effet des forces extérieures sur le mouvement du système

A

La somme des forces appliquées au système

Pour analyser le mouvement d'un système, on doit effectuer la somme des forces qu'il subit.

L'effet de plusieurs forces peut s'annuler, on dit alors qu'elles se compensent. Leur somme vectorielle est égale au vecteur nul \overrightarrow{ 0 }.

  • Dans le cas de deux forces, il faut qu'elles aient la même direction, la même valeur et des sens opposés.

Un livre est posé sur une table.

-

Le poids et la réaction normale qu'il subit se compensent :   \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } = \overrightarrow{ 0 }.

En effet, ces forces ont bien la même direction (verticale), des sens opposés et la même valeur (puisque représentées par des vecteurs de même longueur).

  • Dans le cas de trois forces, seule une construction vectorielle permet de conclure si elles se compensent ou pas.

Un skieur descend une piste rectiligne.

-

Le poids, la réaction normale et les frottements qu'il subit se compensent : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } + \overrightarrow{ f } = \overrightarrow{ 0 }, comme le montre leur somme vectorielle.

Lors du mouvement du système, tout se passe comme s'il était soumis à une seule force, qui est la somme de celles qu'il subit (parfois appelée « résultante des forces »). Elle s'obtient en additionnant les vecteurs modélisant les forces extérieures exercées sur le système.

Une moto en mouvement rectiligne accéléré sur une route horizontale est soumise à trois forces extérieures : son poids, la réaction normale du sol et la force exercée par le moteur.

-

Ici, le poids et la réaction normale se compensent, la somme des forces extérieures que subit la moto se réduit alors à la force \overrightarrow{ F }  exercée par le moteur : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } + \overrightarrow{ F } = \overrightarrow{ F } car \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } = \overrightarrow{ 0 }.

B

Principe d'inertie

Le principe d'inertie permet de relier le mouvement d'un système aux forces qu'il subit.

Principe d'inertie

Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, tout corps soumis à des forces extérieures qui se compensent (ou en l'absence de forces) persévère :

  • dans son état de repos si sa vitesse initiale est nulle ;
  • dans son mouvement rectiligne et uniforme si sa vitesse initiale n'est pas nulle. 

Dans le référentiel terrestre, le livre ci-dessous est soumis à des forces qui se compensent  \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } = \overrightarrow{ 0 }.

Sa vitesse initiale étant nulle, il demeurera au repos.

-

On peut aussi utiliser la contraposée du principe de l'inertie, c'est-à-dire inverser la relation de cause à effet du principe d'inertie.

Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, si un corps n'est ni au repos ni en mouvement rectiligne et uniforme, alors on peut en déduire que les forces extérieures qui s'exercent sur lui ne se compensent pas. 

Dans le référentiel terrestre, un skieur descend une piste selon un mouvement est rectiligne et accéléré.

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On en déduit que les forces qu'il subit ne se compensent pas : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } \overrightarrow{ 0 }.

On appelle « référentiels galiléens » les référentiels dans lesquels le principe de l'inertie est vérifié.

Les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique sont galiléens, ainsi que tous les référentiels liés à un solide en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à eux.

C

Approche de la deuxième loi de Newton

Au cours du mouvement d'un système, la variation de son vecteur vitesse instantanée est due à l'existence d'actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas.

Deuxième loi de Newton

La version approchée de la deuxième loi de Newton relie le vecteur variation de la vitesse instantanée d'un système à la somme des forces extérieures appliquées au système :

\overrightarrow{ F }= m \times \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

La connaissance de la somme des forces extérieures subies par le système permet donc de prévoir les variations de son vecteur vitesse instantanée.

D'après la version approchée de la deuxième loi de Newton :

  • Le vecteur variation de la vitesse instantanée a même direction et même sens que la somme des forces extérieures appliquées au système.
  • La valeur du vecteur variation de la vitesse instantanée augmente avec la valeur de la somme des forces extérieures.
  • Les effets de la somme des forces extérieures sont plus importants pour les systèmes de petite masse.

La somme des forces extérieures qui s'exercent sur la moto se résument à la force F exercée par le moteur : \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } + \overrightarrow{ F } = \overrightarrow{ F }, car  \overrightarrow{P} + \overrightarrow{ RN } = \overrightarrow{ 0 }.

-

En tout point M, on peut vérifier que le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{(M}} a bien même direction et même sens que la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur la moto et qui se réduit à la force \overrightarrow{ F } exercée par le moteur : 

-

Pour une même force \overrightarrow{ F } exercée par le moteur, la valeur du vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{(M_i}} sera plus élevée si la masse de la moto est plus faible.

D

Cas de la chute libre

Un corps est dit en chute libre si la seule force qu'il subit est son poids. 

Dans l'atmosphère terrestre, pour qu'un corps soit considéré en chute libre, il faut donc que les frottements exercés par l'air soient négligeables.

Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{(M_i}} d'un corps en chute libre a, en tout point, la même direction et le même sens que le poids du corps \overrightarrow{P}, étant donné que c'est la seule force qu'il subit : il est donc vertical et orienté vers le bas.

Si un corps est lâché sans vitesse initiale, le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{(M_i}}  et le vecteur vitesse instantanée \overrightarrow{v} du corps sont de même sens : le mouvement est alors rectiligne et accéléré vers le sol.

-

Ainsi, la vitesse instantanée du corps diminue.

Lorsqu'elle devient nulle, le corps chute vers le bas avec cette fois un mouvement rectiligne et accéléré, similaire à celui d'un corps chutant sans vitesse initiale.  

Dans cette situation, le vecteur variation de la vitesse instantanée est aussi lié à l'intensité de pesanteur \overrightarrow{g}.

Pour un objet en chute libre, la version approchée de la deuxième loi de Newton permet d'écrire : 

\overrightarrow{ P }= m \times \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

Soit :

\overrightarrow{ m \times g}= m \times \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

Et finalement :

\overrightarrow{ g}= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

Dans cette relation, la masse du corps en chute libre n'apparaît plus.

La masse d'un corps en chute libre n'a pas d'influence sur le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{(M_i}}  et donc n'en a pas non plus sur la durée de chute.

Les astronautes d'Apollo 15 ont testé cette propriété sur la Lune, mettant à profit l'absence d'atmosphère et donc de frottements. Sur une vidéo que l'on peut encore trouver en ligne (https://www.youtube.com/watch?v=KDp1tiUsZw8), un des astronautes lâche de la même hauteur un marteau et une plume, que l'on voit tomber à la même vitesse.

III

Récapitulatif

Vecteur vitesse instantanée
  • valeur (exprimée en m·s−1) v_{M_{i}}=\dfrac{M_{i-1}\times M_{i+1}}{2\tau}  ;
  • direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point M(ti) soit aussi par la direction de la droite Mi – 1Mi+ 1 ;
  • sens qui correspond au sens du mouvement à l'instant ti.
Vecteur variation de la vitesse instantanée En un point Mi, il correspond à la différence entre les vecteurs vitesse instantanée   v_{M_{i+1}}\text{ et }v_{M_{i-1}} :   \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}}=\overrightarrow{v_{M_{i}+1}}-\overrightarrow{v_{M_{i-1}}}
Forces qui se compensent
  • Forces qui annulent leurs effets.
  • Dans le cas de deux forces, il faut qu'elles aient la même direction, la même valeur et des sens opposés.
  • Dans le cas de trois forces, seule une construction vectorielle permet de conclure si elles se compensent ou pas.
Principe de l'inertie

Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, tout corps soumis à des forces extérieures qui se compensent (ou en l'absence de forces) persévère :

  • dans son état de repos, si sa vitesse initiale est nulle ;
  • dans son mouvement rectiligne et uniforme si sa vitesse initiale n'est pas nulle. 
Approche de la deuxième loi de Newton

Relie le vecteur variation de la vitesse instantanée d'un système à la somme des forces extérieures appliquées au système :

\overrightarrow{ F }= m \times \dfrac{\Delta v}{\Delta t}
Corps en chute libre

Corps soumis uniquement à son poids, d'où :

\overrightarrow{ P }= m \times \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

et 

\overrightarrow{ g}= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

Son vecteur variation de la vitesse instantanée ∆v est vertical et vers le bas, comme son poids P et le champ de pesanteur g.

Son mouvement ne dépend pas de sa masse.