En 1912, Max Von Laue soumet un cristal à des ondes électromagnétiques de courte longueur d'onde, les rayons X. Il découvre ainsi sa structure.
Les solides cristallins présentent au niveau atomique un arrangement parfaitement ordonné et régulier dans trois directions de l'espace. Cet arrangement est caractérisé par la distance a entre deux entités (atomes, ions, molécules). Cette distance est de l'ordre de 0,1 nm. Les solides cristallins ont la propriété de diffracter une onde de longueur d'onde dont la valeur est voisine de la distance a.
Diffraction d'un faisceau d'électrons
Les deux représentations ci-dessous montrent la figure de diffraction d'un faisceau de rayons X (à gauche) et d'un faisceau d'électrons (à droite) après passage au travers d'une fine feuille faite de petits cristaux d'aluminium.
Figure 1
Source : A.P. French and Edwin F. Taylor, Introduction to Quantum
Physics, New York : W.W.Norton. 1978
Quelle condition sur la longueur d'onde permet d'observer le phénomène de diffraction ?
La condition pour observer le phénomène de diffraction est lorsque la dimension de l'ouverture ou de l'obstacle est du même ordre de grandeur, ou inférieure, à la longueur d'onde pour une onde mécanique et à cent fois la longueur d'onde pour une onde électromagnétique.
Sur la figure 1, que reconnaît-on qui illustre l'hypothèse d'un comportement ondulatoire des électrons ?
On constate sur la figure 1 que le passage des électrons à travers la feuille d'aluminium conduit à une figure de diffraction similaire à celle observée avec des rayons X. Le phénomène de diffraction étant caractéristique des ondes, cette expérience permet de valider l'hypothèse du comportement ondulatoire des électrons.
Comment s'appelle la relation qui donne la longueur d'onde associée à la quantité de mouvement d'une particule ?
La relation qui donne la longueur d'onde associée à la quantité de mouvement d'une particule est la relation de De Broglie.
Quelle est l'expression correcte de cette relation ?
La relation de De Broglie qui prend en compte le comportement ondulatoire des électrons est :
p = \dfrac{h}{\lambda}
Avec :
- p : la quantité de mouvement de la particule
- h : la constante de Planck
- \lambda : la longueur d'onde associée à la particule
En 1927, Les Américains C.J. Davisson et L. Germer apportent la première preuve expérimentale du comportement ondulatoire de particules de masse non nulle.
Ils observent ainsi la diffraction d'un faisceau d'électrons de vitesses identiques, par un cristal de nickel.
Le schéma de principe du montage expérimental de Davisson et Germer est représenté ci-dessous.
Obtention du faisceau d'électrons
Dans l'expérience de Davisson-Germer, des électrons émis sans vitesse initiale par un filament sont accélérés par le champ électrostatique horizontal supposé uniforme qui règne entre deux plaques planes verticales A et B aux bornes desquelles on applique une tension électrique de l'ordre de 100 V.
Données :
- Masse d'un électron : m = 9{,}11 \times 10^{–31}\text{ kg} ;
- Charge électrique élémentaire : e = 1{,}60 \times 10^{–19}\text{ C} ;
- Constante de Planck : h = 6{,}63 \times 10^{–34}\text{ J.s} ;
- La valeur de l'intensité de la pesanteur est supposée connue du candidat ;
- La distance d entre les plaques est inférieure à 1 m ;
- Deux plaques séparées d'une distance d et aux bornes desquelles on applique une tension U créent entre elles un champ électrostatique d'intensité E=\dfrac{U}{d}.
Quelle est la relation liant la force électrique que subit l'électron et le champ électrique qui règne entre les plaques A et B ?
L'expression de la force électrique que subit l'électron est :
\overrightarrow{F} = - e \times \overrightarrow{E}
Quelles sont les deux affirmations que l'on peut déduire de cette relation ?
Quelle est la représentation correcte du champ électrique existant entre les plaques A et B et de la force électrique que subit l'électron ?
Quelle autre force s'exerce sur l'électron ?
L'électron est aussi soumis à son poids.
Pourquoi peut-on négliger cette force ?
Le poids de l'électron est négligeable car sa valeur est beaucoup plus faible que celle de la valeur de la force électrique.
La vitesse de l'électron à l'entrée du dispositif étant nulle, quelles sont les équations horaires de son mouvement entre les deux plaques A et B ?
On applique la 2e loi de Newton à l'électron, dans le référentiel du laboratoire :
\Sigma \overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a}
La force électrique subie par l'électron est :
\overrightarrow{F} = - e \times \overrightarrow{E}
On obtient donc :
- e \times \overrightarrow{E} = m \times \overrightarrow{a}
Soit :
\overrightarrow{a} = \dfrac{ - e \times \overrightarrow{E}}{m}
En projetant sur l'axe horizontal, orienté de A vers B :
a_{x}= \dfrac{ - e \times E_{x}}{m}
a_{x} = \dfrac{ - e \times \left(-E\right)}{m}
a_{x}= \dfrac{ e \times E}{m}
Pour obtenir l'équation de la vitesse, on intègre a_{x} par rapport au temps. On obtient :
v_{x}= \dfrac{ e \times E}{m} \times t + k
D'après les conditions initiales, à t = 0, v_{x} \left(0\right)= 0 donc k=0.
D'où :
v_{x}= \dfrac{ e \times E}{m} \times t (1)
Pour obtenir l'équation de la coordonnée x, on intègre la composante de la vitesse v_{x} par rapport au temps. On obtient :
x = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t^{2}+ k'
D'après les conditions initiales, à t = 0, x \left(0\right)= 0 donc k' = 0.
D'où :
x = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t^{2}
L'électron n'ayant pas de mouvement selon les axes y et z, on a aussi :
- y=0
- z=0
Par déduction, quelle est l'expression correcte de la vitesse d'un électron en sortie du dispositif ?
On sait que :
x = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t^{2} (1)
À partir de la relation (1) et sachant que xs au point S correspond à d, on a : d=x_{s} = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t_{s}^{2}
Donc :
t_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times m \times d}{e \times E}} (2)
Dans la relation (1), on remplace t par la relation (2) :
v_{s}= \dfrac{ e \times E}{m} \times t_{s}
v_{s} = \dfrac{ e \times E}{m} \times \sqrt{\dfrac{2 \times m \times d}{e \times E}}
Soit :
v_{s}=\sqrt{ \dfrac{ e^{2} \times E^{2} }{m^{2} }} \times \sqrt{\dfrac{2 \times m \times d}{e \times E}}
v_{s}=\sqrt{\dfrac{e^{2} \times E^{2} \times 2 \times m \times d }{m^{2} \times e \times E}}
v_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times e \times E \times d }{m}}
Or :
E = \dfrac{U}{d}
Donc :
U = E \times d
Finalement, on obtient :
v_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}}
En appliquant la relation de De Broglie à l'électron au point S, quelle est l'expression de la longueur d'onde qu'on lui associe ?
D'après la relation de De Broglie :
\lambda = \dfrac{h}{m \times v_{s} }
Sachant que pour observer la diffraction du faisceau d'électrons par le nickel, la longueur d'onde de l'onde de matière associée doit être de l'ordre de grandeur de la distance a caractérisant ce solide cristallin, soit environ 0,1 nm, quel est l'ordre de grandeur de la tension U à appliquer entre les plaques A et B ?
La relation de De Broglie est :
p = \dfrac{h}{\lambda}
Sachant que la quantité de mouvement est liée à la vitesse de l'électron par la relation :
p = m \times v_{s}
On obtient :
m \times v_{s} = \dfrac{h}{\lambda}
Donc :
m \times \sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}} = \dfrac{h}{\lambda}
Soit :
m^{2} \times \left(\sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}}\right)^{2} = \dfrac{h^{2}}{\lambda^{2}}
m^{2} \times \dfrac{2 \times e \times U}{m} = \dfrac{h^{2}}{\lambda^{2}}
On isole la tension U :
U= \dfrac{h^{2}}{ 2 \times e \times m \times \lambda^{2}}
On calcule la tension U :
U= \dfrac{h^{2}}{ 2 \times e \times m \times \lambda^{2}}
U= \dfrac{\left(6{,}63\times 10^{-34} \right)^{2}}{ 2 \times 1{,}60\times 10^{-19} \times 9{,}11\times 10^{-31} \times \left(0{,}1\times 10^{-9} \right)^{2}}
U=1{,}51 \times 10^{2} V
L'ordre de grandeur de la tension est donc de 102 V.
Cette valeur est cohérente avec l'ordre de grandeur de la valeur de la tension U que Davisson et Germer ont dû choisir pour leur expérience.
Une application technologique du phénomène : le microscope électronique
S'appuyant sur les résultats de Davisson-Germer, deux chercheurs allemands (E. Ruska et M. Knoll) ont conçu en 1931 un prototype de microscope électronique utilisant un faisceau d'électrons accélérés par une tension U de l'ordre de 100 kV.
Sachant que la résolution (plus petite distance séparant deux objets que l'on peut distinguer) d'un microscope optique ou électronique est proportionnelle à la longueur d'onde du rayonnement utilisé, quel élément a pu motiver les chercheurs à se lancer dans l'élaboration d'un microscope électronique ?
La résolution d'un microscope est proportionnelle à la longueur d'onde utilisée.
Pour un microscope optique, l'ordre de grandeur de la longueur d'onde moyenne du visible est de 103 nm.
Pour le microscope électronique, la longueur d'onde des électrons est bien plus faible, de l'ordre de 0,1 nm dans cet exercice.
Les chercheurs ont compris qu'avec un microscope électronique, on pourrait atteindre une résolution 104 fois plus petite qu'avec un microscope optique.