Ondes et électrons

En 1912, Max Von Laue soumet un cristal à des ondes électromagnétiques de courte longueur d'onde, les rayons X. Il découvre ainsi sa structure.
Les solides cristallins présentent au niveau atomique un arrangement parfaitement ordonné et régulier dans trois directions de l'espace. Cet arrangement est caractérisé par la distance a entre deux entités (atomes, ions, molécules). Cette distance est de l'ordre de 0,1 nm. Les solides cristallins ont la propriété de diffracter une onde de longueur d'onde dont la valeur est voisine de la distance a.

Diffraction d'un faisceau d'électrons

Les deux représentations ci-dessous montrent la figure de diffraction d'un faisceau de rayons X (à gauche) et d'un faisceau d'électrons (à droite) après passage au travers d'une fine feuille faite de petits cristaux d'aluminium.

Figure 1

Source : A.P. French and Edwin F. Taylor, Introduction to Quantum
Physics, New York : W.W.Norton. 1978

Quelle condition sur la longueur d'onde permet d'observer le phénomène de diffraction ?

La dimension de l'ouverture ou de l'obstacle doit être du même ordre de grandeur, ou supérieure, à la longueur d'onde pour une onde mécanique et à cent fois la longueur d'onde pour une onde électromagnétique.

La dimension de l'ouverture ou de l'obstacle doit être du même ordre de grandeur, ou supérieure, à la longueur d'onde pour une onde mécanique et à dix mille fois la longueur d'onde pour une onde électromagnétique.

La dimension de l'ouverture ou de l'obstacle doit être du même ordre de grandeur, ou inférieure, à la longueur d'onde pour une onde mécanique et à cent fois la longueur d'onde pour une onde électromagnétique.

La dimension de l'ouverture ou de l'obstacle doit être du même ordre de grandeur, ou inférieure, à la longueur d'onde pour une onde mécanique et à dix mille fois la longueur d'onde pour une onde électromagnétique.

La condition pour observer le phénomène de diffraction est lorsque la dimension de l'ouverture ou de l'obstacle est du même ordre de grandeur, ou inférieure, à la longueur d'onde pour une onde mécanique et à cent fois la longueur d'onde pour une onde électromagnétique.

En quoi la figure 1 illustre l'hypothèse d'un comportement ondulatoire des électrons ?

On reconnaît une figure de diffraction.

On reconnaît une figure d'interférences.

On reconnaît une figure de décomposition de la lumière.

On reconnaît une figure polychromatique.

On constate sur la figure 1 que le passage des électrons à travers la feuille d'aluminium conduit à une figure de diffraction similaire à celle observée avec des rayons X. Le phénomène de diffraction étant caractéristique des ondes, cette expérience permet de valider l'hypothèse du comportement ondulatoire des électrons.

Quelle est la relation de De Broglie qui prend en compte ce comportement ondulatoire des électrons ?

p = \dfrac{h}{\lambda}

p = \dfrac{\lambda}{h}

h = \dfrac{p}{\lambda}

h = \dfrac{\lambda}{p}

La relation de De Broglie qui prend en compte ce comportement ondulatoire des électrons est :

p = \dfrac{h}{\lambda}

Avec :

p : la quantité de mouvement de la particule
h : la constante de Planck
\lambda : la longueur d'onde associée à la particule

En 1927, Les Américains C.J. Davisson et L. Germer apportent la première preuve expérimentale du comportement ondulatoire de particules de masse non nulle.
Ils observent ainsi la diffraction d'un faisceau d'électrons de vitesses identiques, par un cristal de nickel.
Le schéma de principe du montage expérimental de Davisson et Germer est représenté ci-dessous.

Obtention du faisceau d'électrons

Dans l'expérience de Davisson-Germer, des électrons émis sans vitesse initiale par un filament sont accélérés par le champ électrostatique horizontal supposé uniforme qui règne entre deux plaques planes verticales A et B aux bornes desquelles on applique une tension électrique de l'ordre de 100 V.

Données :

Masse d'un électron : m = 9{,}11 \times 10^{–31}\text{ kg} ;
Charge électrique élémentaire : e = 1{,}60 \times 10^{–19}\text{ C} ;
Constante de Planck : h = 6{,}63 \times 10^{–34} \text{ J.s} ;
La valeur de l'intensité de la pesanteur est supposée connue du candidat ;
La distance d entre les plaques est inférieure à 1 m ;
Deux plaques séparées d'une distance d et aux bornes desquelles on applique une tension U créent entre elles un champ électrostatique d'intensité E=\dfrac{U}{d}.

Peut-on négliger le poids de l'électron devant la force électrique qu'il subit ?

Oui, car \dfrac{F}{P} =1{,}80 \times 10^{12}

Non, car \dfrac{F}{P} =1{,}80 \times 10^{12}

Oui, car \dfrac{F}{P} =2{,}50 \times 10^{-9}

Non, car \dfrac{F}{P} =2{,}50 \times 10^{-9}

Le poids P de l'électron est :

P = m \times g

P = 9{,}11\times 10^{-31} \times 9{,}8

P = 8{,}9 \times 10^{-30}\text{ N}

Et la force électrique F qu'il subit :

F = \left| -e \right| \times E = \dfrac{e \times U}{d}

F = \dfrac{e \times U}{d}

F = \dfrac{1{,}60 \times 10^{-19} \times 100}{1}

F = 1{,}60 \times 10^{-17}\text{ N}

Le rapport de la valeur de la force électrique sur celle du poids est donc :

\dfrac{F}{P} =\dfrac{1{,}60 \times 10^{-17}}{8{,}9 \times 10^{-30}}

\dfrac{F}{P} =1{,}80 \times 10^{12}

On en déduit que la valeur de la force électrique est beaucoup plus grande que celle du poids et donc que le poids de l'électron est négligeable.

Quel schéma représente correctement la force électrique \overrightarrow{F} subie par l'électron entre les plaques et le champ électrostatique \overrightarrow{E} ?

L'électron étant accéléré entre la plaque A et la plaque B, la force électrique qu'il subit est forcément orientée de la plaque A vers la plaque B.

Le champ électrique est orienté dans le sens inverse c'est-à-dire de la plaque B vers la plaque A car l'expression de la force électrique subie par l'électron est :

\overrightarrow{F} = q \times \overrightarrow{E}

\overrightarrow{F} = - e \times \overrightarrow{E}

À partir des équations horaires du mouvement d'un électron entre les deux plaques A et B et en considérant que sa vitesse est nulle à l'entrée du dispositif, quelle est l'expression de la vitesse en sortie S du dispositif que l'on peut déterminer ?

v_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}}

v_{s} =\left(\dfrac{2 \times e \times U }{m}\right)^3

v_{s} =\left(\dfrac{2 \times e \times m }{U}\right)^3

v_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times e \times m }{U}}

On applique la 2e loi de Newton à l'électron, dans le référentiel du laboratoire :

\Sigma \overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a}

La force électrique subie par l'électron est :

\overrightarrow{F} = - e \times \overrightarrow{E}

On obtient donc :

- e \times \overrightarrow{E} = m \times \overrightarrow{a}

Soit :

\overrightarrow{a} = \dfrac{ - e \times \overrightarrow{E}}{m}

En projetant sur l'axe horizontal, orienté de A vers B :

a_{x}= \dfrac{ - e \times E_{x}}{m}

a_{x} = \dfrac{ - e \times \left(-E\right)}{m}

a_{x}= \dfrac{ e \times E}{m}

Pour obtenir l'équation de la vitesse, on intègre a_{x} par rapport au temps. On obtient :

v_{x}= \dfrac{ e \times E}{m} \times t + k

D'après les conditions initiales, à t = 0, v_{x} \left(0\right)= 0 donc k=0.

D'où :

v_{x}= \dfrac{ e \times E}{m} \times t (1)

Pour obtenir l'équation de la coordonnée x, on intègre la composante de la vitesse v_{x} par rapport au temps. On obtient :

x = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t^{2}+ k'

D'après les conditions initiales, à t = 0, x \left(0\right)= 0 donc k' = 0.

D'où :

x = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t^{2} (2)

À partir de la relation (2) et sachant que x_s au point S correspond à d, on a : d=x_{s} = \dfrac{ e \times E}{2 m} \times t_{s}^{2}

Donc :

t_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times m \times d}{e \times E}} (3)

Dans la relation (1), on remplace t par la relation (3) :

v_{s}= \dfrac{ e \times E}{m} \times t_{s}

v_{s} = \dfrac{ e \times E}{m} \times \sqrt{\dfrac{2 \times m \times d}{e \times E}}

Soit :

v_{s}=\sqrt{ \dfrac{ e^{2} \times E^{2} }{m^{2} }} \times \sqrt{\dfrac{2 \times m \times d}{e \times E}}

v_{s}=\sqrt{\dfrac{e^{2} \times E^{2} \times 2 \times m \times d }{m^{2} \times e \times E}}

v_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times e \times E \times d }{m}}

Or :

E = \dfrac{U}{d}

Donc :

U = E \times d

Finalement, on obtient bien :

v_{s} =\sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}}

Pour observer la diffraction du faisceau d'électrons par le nickel, la longueur d'onde de l'onde de matière associée doit être de l'ordre de grandeur de la distance a caractérisant ce solide cristallin, soit environ 0,1 nm.

Quelle est alors l'expression de la tension U ?

U = \dfrac{h^2}{2 m.e.\lambda^2}

U = \dfrac{h}{2 m.e.\lambda^2}

U = \dfrac{h^2}{2 m.e.\lambda}

U = \dfrac{h}{2 m.e.\lambda}

La relation de De Broglie est :

p = \dfrac{h}{\lambda}

Sachant que la quantité de mouvement est liée à la vitesse de l'électron par la relation :

p = m \times v_{s}

On obtient :

m \times v_{s} = \dfrac{h}{\lambda}

Donc :

m \times \sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}} = \dfrac{h}{\lambda}

Soit :

m^{2} \times \left(\sqrt{\dfrac{2 \times e \times U }{m}}\right)^{2} = \dfrac{h^{2}}{\lambda^{2}}

m^{2} \times \dfrac{2 \times e \times U}{m} = \dfrac{h^{2}}{\lambda^{2}}

On isole la tension U :

U= \dfrac{h^{2}}{ 2 \times e \times m \times \lambda^{2}}

Quel est le calcul qui permet de retrouver l'ordre de grandeur de la valeur de la tension U que Davisson et Germer ont dû choisir pour leur expérience ?

U= \dfrac{h^{2}}{ 2 \times e \times m \times \lambda^{2}}= \dfrac{\left(6{,}63\times 10^{-34} \right)^{2}}{ 2 \times 1{,}60\times 10^{-19} \times 9{,}11\times 10^{-31} \times \left(0{,}1\times 10^{-9} \right)^{2}}=1{,}51 \times 10^2 V

On calcule la tension U :

U= \dfrac{h^{2}}{ 2 \times e \times m \times \lambda^{2}}

U= \dfrac{\left(6{,}63\times 10^{-34} \right)^{2}}{ 2 \times 1{,}60\times 10^{-19} \times 9{,}11\times 10^{-31} \times \left(0{,}1\times 10^{-9} \right)^{2}}

U=1{,}51 \times 10^{2} V

L'ordre de grandeur de la tension est donc de 10² V.

Cette valeur est cohérente avec l'ordre de grandeur de la valeur de la tension U que Davisson et Germer ont dû choisir pour leur expérience.

Une application technologique du phénomène : le microscope électronique

S'appuyant sur les résultats de Davisson-Germer, deux chercheurs allemands (E. Ruska et M. Knoll) ont conçu en 1931 un prototype de microscope électronique utilisant un faisceau d'électrons accélérés par une tension U de l'ordre de 100 kV.

Sachant que la résolution (plus petite distance séparant deux objets que l'on peut distinguer) d'un microscope optique ou électronique est proportionnelle à la longueur d'onde du rayonnement utilisé, quelle est la raison principale qui a pu motiver les chercheurs à se lancer dans l'élaboration d'un microscope électronique ?

Atteindre une résolution 10⁴ fois plus petite qu'avec un microscope optique

Atteindre une résolution 10⁶ fois plus petite qu'avec un microscope optique

Atteindre une résolution 10⁴ fois plus grande qu'avec un microscope optique

Atteindre une résolution 10⁶ fois plus grande qu'avec un microscope optique

La résolution d'un microscope est proportionnelle à la longueur d'onde utilisée.

Pour un microscope optique, l'ordre de grandeur de la longueur d'onde moyenne du visible est de 10³ nm.

Pour le microscope électronique, la longueur d'onde des électrons est bien plus faible, de l'ordre de 0,1 nm dans cet exercice.

Les chercheurs ont compris qu'avec un microscope électronique, on pourrait atteindre une résolution 10⁴ fois plus petite qu'avec un microscope optique.