Se chauffer avec le numérique

Un centre de données (datacenter en anglais) est un lieu où se trouvent regroupés les équipements constituant le système d'information de l'entreprise (ordinateurs centraux, serveurs, baies de stockage, équipements réseaux et de télécommunications, etc.). Les plus connus sont ceux de Google, Facebook, Apple, …

Centre de données de Google

www.google.com

Au Val d'Europe, en Seine-et-Marne, le centre de données de Natixis permet de chauffer le nouveau centre aquatique et une pépinière d'entreprises.

Piscine et pépinière d'entreprises (près de 6000 m² au total) sont pourtant loin d'utiliser toute l'énergie disponible. Selon Dalkia, la filiale commune de Veolia et d'EDF qui exploite le réseau de chauffage, le centre de données peut chauffer jusqu'à 600 000 m².

Un centre de données de cette importance, avec de telles batteries de serveurs à alimenter et à refroidir en permanence, consomme une énergie électrique considérable : autant qu'une ville moyenne de 50 000 habitants. 30% de cette énergie est utilisée pour le refroidissement des serveurs. Plutôt que de gaspiller en pure perte cette énergie, autant récupérer la chaleur que dégage la climatisation.

D'après le site www.alliancy.fr.

Données numériques :

Matériau	Laine de verre	Polystyrène	Laine de roche	Béton armé	Polymère
Conductivité thermique \lambda (W.K^-1.m^-1)	0,032	0,038	0,034	2,2	0,18

1 kWh = 3{,}6 \times 10^6 J

Données :

Conditions d'obtention du label HQE (Haute Qualité Environnementale) :

On note Z la résistance thermique d'une paroi ayant une surface de 1 m². Pour obtenir le label HQE, la valeur de Z doit avoir une valeur minimale notée Z_{HQE}. Cette valeur minimale dépend de la paroi étudiée. Les valeurs minimales sont données sur le schéma ci-dessous.

L'énergie thermique transférée à un système par un flux thermique φ pendant la durée ∆t est : Q = \varphi \Delta t.

Avec :

Q : énergie thermique transférée (J)
\varphi : flux thermique (W)
\Delta t : durée du transfert (s)

Lorsque les températures extérieure T_{ext} et intérieure T_{int} sont constantes au cours du temps, avec T_{int} \gt T_{ext}, le flux thermique \varphi à travers une paroi s'exprime par : \varphi = \dfrac{T_{int} - T_{ext}}{R_{th}}

Avec :

\varphi : flux thermique (W)
R_th: résistance thermique de la paroi considérée (K.W^-1)

La résistance thermique R_th d'une paroi plane est définie par la relation : R_{th} = \dfrac{Z}{S} avec Z = \dfrac{e}{\lambda}

Avec :

e : épaisseur de la paroi (m)
\lambda : conductivité thermique (en unité du système international USI)
S : surface de la paroi (m²)
Z : résistance thermique d'une paroi ayant une surface égale à 1 m².

Les résistances thermiques de plusieurs matériaux superposés s'ajoutent.

Isolation thermique des murs du centre de données

Lors de l'élaboration des plans du centre de données, l'objectif était d'obtenir le label HQE pour le bâtiment. Dans toute cette partie, on raisonnera sur un mur extérieur dont la surface est de 1,0 m².

Quel est le calcul correct de l'épaisseur que devrait posséder le mur extérieur si celui-ci n'était constitué que de béton armé ?

e = Z \times \lambda = 4{,}00 \times 0{,}032 = 1{,}3\times10^{-1} m

e = Z \times \lambda = 4{,}00 \times 2{,}2 = 8{,}8 m

e = \dfrac{ \lambda}{Z} =\dfrac{2{,}2}{4{,}00} = 0{,}55 m

e = \dfrac{Z}{ \lambda} = \dfrac{4{,}00}{2{,}2} = 1{,}8 m

On sait que la condition pour obtenir le label HQE vis-à-vis de la résistance thermique du mur extérieur impose une valeur Z_{HQE,murext}=4{,}00 m².K.W^-1, or ici :

Z_{murext}=\dfrac{e_{mur}}{\lambda_{bétonarmé}}

Avec \lambda_{bétonarmé}=2{,}2 W.K^-1.m^-1

On cherche la valeur de l'épaisseur du mur e_{mur} à partir de laquelle Z_{murext}=Z_{HQE,murext} pour un mur en béton armé :

e_{mur}=Z_{HQE,murext}\times \lambda_{bétonarmé}

Soit :

e_{mur}=4{,}00 \times 2{,}2

On en déduit donc :

e_{mur}=8{,}8 m

Si le mur extérieur n'était constitué que de béton armé, il faudrait qu'il ait une épaisseur de 8,8 m pour respecter la norme HQE.

L'épaisseur des murs en béton armé est en réalité de 20 cm.
Pour améliorer la résistance thermique des murs, on se propose d'ajouter une couche d'isolant et de la recouvrir de panneaux en polymère de 5,0 cm d'épaisseur afin de réaliser une étanchéité à l'eau et à l'air (schéma ci-dessous).

Comment doit-on choisir le matériau à placer contre le panneau en polymère pour que l'isolation soit efficace ?

Il faut choisir un matériau de résistance thermique faible, donc de faible conductivité thermique.

Il faut choisir un matériau de résistance thermique élevée, donc de faible conductivité thermique.

Il faut choisir un matériau de résistance thermique élevée, donc de grande conductivité thermique.

Il faut choisir un matériau de masse volumique faible pour qu'il soit léger.

On sait que la résistance thermique est proportionnelle à l'inverse de la conductivité thermique.

Il faut choisir un matériau de résistance thermique élevée, donc de faible conductivité thermique.

Parmi les matériaux proposés, lequel permettra la meilleure isolation ?

Le béton armé

La laine de roche

La laine de verre

Le polystyrène

De tous les isolants proposés dans les données de l'énoncé, la laine de verre est celui qui possède la plus faible conductivité thermique. À épaisseurs égales, une lame de laine de verre sera donc plus isolante qu'une lame de polystyrène ou de laine de roche. De plus, c'est un matériau très léger.

Quelle relation lie la résistance thermique Z du mur aux résistances thermiques des 3 matériaux le composant ?

Puisque les résistances thermiques s'ajoutent : Z = R_{\text{th béton}}\times e_{béton} + R_{\text{th polymère}}\times e_{polymère} +R_{\text{th laine}}\times e_{laine}.

Puisque les résistances thermiques s'ajoutent : Z = R_{\text{th béton}} + R_{\text{th polymère}} +R_{\text{th laine}}.

Les résistances thermiques se multiplient : Z = R_{\text{th béton}} \times R_{\text{th polymère}} \times R_{\text{th laine}}.

Puisque les résistances thermiques s'ajoutent : Z = R_{\text{th béton}} + R_{\text{th polystyrène}}+R_{\text{th polymère}}.

Puisque les résistances thermiques s'ajoutent :

Z = R_{\text{th béton}} + R_{\text{th polymère}} +R_{\text{th laine}}

Par déduction, quel est le calcul correct de l'épaisseur minimale de laine de verre nécessaire pour que la condition d'obtention du label HQE soit vérifiée ?

e_{laine} = \lambda_{laine} \times \left(Z_{HQE} -\dfrac{e_{polymère}}{\lambda_{polymère}}-\dfrac{e_{béton}}{\lambda_{béton}}\right) = 0{,}032 \times \left(4{,}00 - \dfrac{0{,}050}{0{,}18} - \dfrac{0{,}20}{2{,}2}\right) = 0{,}12 m

e_{laine} = \lambda_{laine} \times \left(Z_{HQE} -\dfrac{e_{polymère}}{\lambda_{polymère}}-\dfrac{e_{béton}}{\lambda_{béton}}\right) = 2{,}2 \times \left(4{,}00 - \dfrac{0{,}050}{0{,}18} - \dfrac{0{,}20}{0{,}032}\right) = -5{,}7 m

e_{laine} = \lambda_{polystyrène} \times \left(Z_{HQE} -\dfrac{e_{polymère}}{\lambda_{polymère}}-\dfrac{e_{béton}}{\lambda_{béton}}\right) = 0{,}038 \times \left(4{,}00 - \dfrac{0{,}050}{0{,}18} - \dfrac{0{,}20}{2{,}2}\right) = 0{,}14 m

On a :

Z_{murext}=Z_{bétonarmé} + Z_{lainedeverre} + Z_{polymère}

Or, l'expression de la résistance thermique d'une couche est :

Z_{couche}=\dfrac{e_{couche}}{\lambda_{couche}}

Où e_{couche} et \lambda_{couche} sont respectivement l'épaisseur de la couche et la conductivité du matériau formant la couche.

D'où :

Z_{murext}=\dfrac{e_{bétonarmé}}{\lambda_{bétonarmé}} +\dfrac{e_{lainedeverre}}{\lambda_{lainedeverre}}+\dfrac{e_{polymère}}{\lambda_{polymère}}

Ici :

e_{bétonarmé}=20 cm ;
e_{polymère}=5{,}0 cm ;
e_{lainedeverre} est la grandeur qu'on souhaite déterminer ;
\lambda_{bétonarmé}=2{,}2 W.K^-1.m^-1 ;
\lambda_{polymère}=0{,}18 W.K^-1.m^-1 ;
\lambda_{lainedeverre}=0{,}032 W.K^-1.m^-1 ;

On souhaite respecter la condition du label HQE, alors :

e_{mini,lainedeverre}=\lambda_{lainedeverre}\times \left(Z_{HQE,murext}-\dfrac{e_{bétonarmé}}{\lambda_{bétonarmé}} - \dfrac{e_{polymère}}{\lambda_{polymère}} \right)

D'où :

e_{mini,lainedeverre}=0{,}032\times \left(4{,}00-\dfrac{20\times10^{-3}}{2{,}2} - \dfrac{5{,}0\times10^{-3}}{0{,}18} \right)

L'épaisseur de laine de verre minimale permettant de respecter la condition du label HQE vaut :

e_{mini,lainedeverre}=12 cm

Bilan thermique du centre de données

Un bâtiment contenant 20 000 serveurs a une longueur de 80 m, une largeur de 50 m et une hauteur de 10 m. Le reste du bâtiment contient des bureaux et des locaux techniques qui ne seront pas pris en compte.
Le bâtiment respecte les normes HQE.
La puissance électrique consommée par un serveur est de 480 W.

D'après le site www.econovista.blogspot.fr

On admettra que toute l'énergie électrique consommée par les 20 000 serveurs est transformée en énergie thermique.
On se placera dans la situation où la valeur de la résistance thermique de chaque paroi de surface de 1,0 m² est égale à la valeur minimale Z_{HQE}.

Quels sont les trois modes de transfert qui permettent aux ordinateurs de céder de l'énergie thermique à la pièce où ils sont stockés ?

Convection, séchage et frottements

Convection, conduction et frottements

Conduction, frottements et rayonnement

Convection, conduction et rayonnement

Les trois modes de transfert thermique qui permettent aux ordinateurs de céder de l'énergie thermique à la pièce sont la conduction, la convection et le rayonnement.

Quel est le calcul correct de l'énergie thermique Q_{serveurs} libérée en une journée par les N serveurs consommant une puissance électrique P ?

Q_{serveurs} = N \times P \times \Delta t = 20 000 \times 480\times 60 \times 60 = 3{,}5 \times 10^{10} J

Q_{serveurs} = N \times P \times \Delta t = 20 000 \times 480 \times 24 \times 60 = 1{,}4 \times 10^{10} J

Q_{serveurs} = N \times P \times \Delta t = 20 000 \times 480 \times 24 \times 60 \times 60 = 8{,}3 \times 10^{11} J

Q_{serveurs} = P \times \Delta t = 480 \times 24 \times 60 \times 60 = 4{,}2 \times 10^{7} J

On sait qu'un serveur consomme 480 W et il y a 20 000 serveurs dans le bâtiment. De plus, on sait que l'énergie E consommée pendant une durée \Delta t s'exprime en fonction de la puissance P consommée :

E=P\times \Delta t

Sachant qu'il y a 3600 secondes dans une heure et 24 heures par jour, on peut calculer l'énergie consommée en une journée par l'ensemble des serveurs :

E=480\times20\ 000\times 3\ 600\times 24

Soit :

E=8{,}3\times 10^{11} J.

Or, on suppose que toute l'énergie consommée par chaque serveur est transformée en énergie thermique donc l'énergie thermique libérée en une journée par les serveurs vaut 8{,}3\times 10^{11} J.

Les températures moyennes au Val d'Europe au cours d'une journée d'hiver sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

	Air extérieur	Sol	Intérieur
Température (°C)	7,0	11	23

Quel est calcul correct du transfert thermique Q_{sol} à travers le sol pour une journée d'hiver ?

Q_{sol} =\left(\dfrac{T_{int} - T_{ext}}{R_{th}}\right) \times \Delta t = \left(\dfrac{\left(23-11\right) \times 80 \times 50}{4{,}00}\right) \times 24 \times 3\ 600 = 1{,}0 \times 10^9 J

Q_{sol} = \left(\dfrac{T_{int} - T_{ext}}{Z_{\text{th HQE}}}\right) \times \Delta t = \dfrac{23-11}{4{,}00} \times 24 \times 3\ 600 = 2{,}5 \times 10^5 J

Q_{sol} =\left(\dfrac{T_{int} - T_{ext}}{R_{th}}\right) \times \Delta t = \left(\dfrac{\left(23-11\right) \times 80 \times 10}{4{,}00}\right) \times 24 \times 3\ 600 = 2{,}0 \times 10^8 J

Q_{sol} =\left(\dfrac{T_{int} - T_{ext}}{R_{th}}\right) \times \Delta t = \left(\dfrac{\left(23-11\right) \times 80 \times 50}{4{,}00}\right) \times 3\ 600 = 4{,}2 \times 10^7 J

On cherche le transfert thermique Q_{sol} à travers le sol en une journée. On sait, d'après l'énoncé, qu'il s'exprime :

Q_{sol}=\varphi_{sol} \times \Delta t

Avec \varphi_{sol} et \Delta t respectivement le flux thermique au travers du sol et la durée sur laquelle on calcule le transfert thermique, ici une journée.

D'après une autre formule de l'énoncé, on peut exprimer ce flux thermique en fonction de la résistance thermique du sol R_{th,sol} et des températures du sol T_{sol} et de l'intérieur T_{int} :

\varphi_{sol}=\dfrac{T_{int} - T_{sol}}{R_{th,sol}}

Ici :

T_{int}=23 °C
T_{sol}=11 °C

On sait que :

R_{th,sol}=\dfrac{Z_{HQE,sol}}{S_{sol}}

Ici :

Z_{HQE,sol} = 4{,}00 m².K.W^-1 est la résistance thermique HQE pour une surface d'1 m².
S_{sol} = 50\times80=4\ 000 m² est la surface du sol du bâtiment.

On en déduit donc l'expression du transfert thermique à travers le sol en une journée :

Q_{sol}=\dfrac{T_{int} - T_{sol}}{Z_{HQE,sol}}\times \Delta t \times S_{sol}

Soit, en remplaçant les grandeurs par leurs valeurs :

Q_{sol}=\dfrac{23 - 11}{4{,}00}\times3\ 600 \times 24 \times 4\ 000

Remarque : Ici la température s'exprime en Kelvins mais comme on fait la différence des deux températures, on peut laisser les valeurs en degrés celsius.

On obtient finalement :

Q_{sol}=1{,}0\times10^9 J

Les transferts thermiques sont respectivement Q_{murs} = 9{,}0 \times 10^8 J et Q_{toiture} = 6{,}0 \times 10^8 J.

Par déduction, quelle est la quantité d'énergie thermique totale perdue par l'ensemble des parois du centre de données au cours d'une journée d'hiver ?

Q_{tot} =Q_{sol} + Q_{murs} +Q_{toiture} = 1{,}0 \times 10^9 + 9{,}0 \times 10^8 + 6{,}8 \times 10^8 = 2{,}6 \times 10^9 J

Q_{tot} =Q_{sol} + 4\times Q_{murs} +Q_{toiture} = 1{,}0 \times 10^9 +4\times 9{,}0 \times 10^8 + 6{,}8 \times 10^8 = 5{,}3 \times 10^9 J

Q_{tot} =Q_{sol} + Q_{murs} +Q_{toiture} = 2{,}0 \times 10^8 + 9{,}0 \times 10^8 + 6{,}8 \times 10^8 = 1{,}8 \times 10^9 J

Q_{tot} =Q_{sol} + Q_{murs} +Q_{toiture} = 2{,}5 \times 10^5 + 9{,}0 \times 10^8 + 6{,}8 \times 10^8 = 1{,}6 \times 10^9 J

L'énergie thermique totale perdue par les parois du centre en une journée d'hiver se calcule en sommant les transferts thermiques perdus par chaque paroi.

En notant E_{therm} l'énergie thermique totale dissipée, on peut alors écrire :

E_{therm}=Q_{sol} + Q_{toiture} +Q_{murs}

Ainsi :

E_{therm}=\left(10 + 6{,}8+ 9{,}0 \right)\times10^8

Donc :

E_{therm}=2{,}6\times10^9 J

Au cours des journées d'hiver, l'énergie thermique totale perdue par les parois du centre vaut 2,6 GJ.

Que risque-t-il de se passer au niveau du bâtiment du centre de données si rien n'est fait ?

Puisque les serveurs libèrent une énergie thermique Q_{serveurs} = 8{,}3 \times 10^{11} J et que le bâtiment évacue seulement Q_{totale} = 2{,}6 \times 10^{9} J, la température à l'intérieur du bâtiment va augmenter de manière importante.

Puisque les serveurs libèrent une énergie thermique Q_{serveurs} = 8{,}3 \times 10^{11} J et que le bâtiment évacue seulement Q_{totale} = 2{,}6 \times 10^{9} J, l'énergie restante va être réutilisée pour le fonctionnement des serveurs.

Puisque les serveurs consomment une énergie thermique Q_{serveurs} = 8{,}3 \times 10^{11} J et que le bâtiment évacue seulement Q_{totale} = 2{,}6 \times 10^{9} J, il ne reste pas assez d'énergie pour refroidir les ordinateurs.

Puisque que le bâtiment évacue Q_{totale} = 2{,}6 \times 10^{9} J, beaucoup d'énergie est évacuée, il n'y a pas de problème particulier.

Étant donné que seulement un peu plus de 0,1% \left(\dfrac{8{,}3\times10^{11}}{2{,}5\times 10^9}\right) de l'énergie thermique libérée par les serveurs est dissipée par les parois du centre, si rien n'est fait, la température du centre augmentera jusqu'à atteindre une valeur trop importante pour le bon fonctionnement des ordinateurs bien que le transfert thermique par les parois augmentera également.

Si rien n'est fait, la température au sein du bâtiment augmentera énormément.

Valorisation de l'énergie produite par les serveurs

L'énergie thermique libérée en six mois par les serveurs est égale à 1{,}5 \times 10^{14} J.

On estime qu'il faut 50 kWh pour chauffer 1 m² de logement récent durant les six mois de l'année où le chauffage est en fonctionnement.

Quel est le calcul correct de la surface de logement que ce système permet de chauffer, durant ces six mois, grâce au centre de données ?

S = \dfrac{Q_{\text{6 mois}}}{Q_{\text{1 m²}}} = \dfrac{1{,}5 \times 10^{14}}{50} =3{,}0\times10^{12} m²

S = \dfrac{Q_{\text{6 mois}}}{Q_{\text{1 m²}}} = \dfrac{1{,}5 \times 10^{14}\times3{,}6 \times 10^6}{50} = 1{,}1 \times 10^{20} m²

S = \dfrac{Q_{\text{6 mois}}}{Q_{\text{1 m²}}} = \dfrac{\dfrac{1{,}5 \times 10^{14}}{3{,}6 \times 10^6}}{50} = 8{,}3 \times 10^5 m²

S = \dfrac{Q_{\text{6 mois}}}{Q_{\text{1 m²}}} = \dfrac{\dfrac{2{,}6 \times 10^{9}}{3{,}6 \times 10^6}}{50} = 14 m²

Pour calculer la valeur de la surface S de logement récent que ce système permet de chauffer, il suffit de faire le rapport de l'énergie thermique E_{libérée} libérée en six mois par les serveurs et de l'énergie E_{néc} nécessaire pour chauffer 1 m² de logement récent.

S=\dfrac{E_{libérée}}{E_{néc}}

Ici :

E_{libérée}=1{,}5\times10^{14} J
E_{néc}=50 kWh soit E_{néc}=1{,}8\times 10^8 J

Donc :

S = \dfrac{1{,}5\times10^{14}}{1{,}8\times 10^8}

On obtient donc la valeur de la surface que ce système permet de chauffer :

S =8{,}3 \times 10^5 m²

Le système étudié permet de chauffer une surface d'environ 8{,}3\times 10^5 m².

La valeur annoncée dans le texte introductif est-elle réaliste ?

Oui, car elle est assez proche de la valeur calculée précédemment.

Oui, car elle est beaucoup plus grande que la valeur calculée précédemment.

Non, car elle est trop proche de la valeur calculée précédemment.

Non, car elle est beaucoup plus petite que la valeur calculée précédemment.

La valeur donnée par Dalkia est de 6\times10^5. La valeur qu'on obtient par le calcul est assez proche de celle-ci donc on peut conclure que c'est une valeur réaliste.

La différence peut peut-être être expliquée par une surestimation des performances de chauffage du système dans notre modèle qui se fonde sur des hypothèses très idéalistes, notamment celle de transformation totale de l'énergie consommée en énergie dissipée.

On peut donc en conclure que la valeur de 600 000 m² annoncée dans l'énoncé est réaliste.

Plutôt que de rejeter de l'air chaud à l'extérieur, il est possible d'utiliser l'énergie thermique libérée pour chauffer des bureaux ou des logements voisins. Une machine thermique, aussi appelée climatiseur, refroidit l'air du centre de données et chauffe l'eau d'un circuit d'eau chaude primaire. Le circuit d'eau chaude primaire permet ensuite de chauffer l'eau des différents bâtiments par l'intermédiaire d'un échangeur.

Dans le cadre d'un modèle simplifié, les échanges énergétiques au niveau de la machine thermique peuvent être représentés sur le schéma ci-dessous :

Avec :

Q_{air}, énergie thermique fournie par l'air en une journée : Q_{air} = 5{,}2 \times 10^{11} J
Q_{eau}, énergie thermique reçue par l'eau en une journée
W, énergie électrique reçue par la machine thermique en une journée : W = 1{,}0 \times 10^{5} kWh

Sachant que la machine thermique ne fait que convertir sans perte l'énergie qu'elle reçoit, quelle relation lie Q_{eau}, Q_{air} et W ?

Q_{eau}=Q_{air}

Q_{eau}=W-Q_{air}

W + Q_{air} = Q_{eau}

0= Q_{eau}+Q_{air} + W

On sait que la variation d'énergie totale \Delta E d'un système en évolution s'exprime :

\Delta E = W +Q

Où :

W est la somme des travaux des différentes forces s'exerçant sur le système, ici W=1{,}0\times10^5 J.
Q est la somme des différents transferts thermiques du système avec d'autres systèmes, ici c'est la somme de Q_{eau} et Q_{air} = 5{,}2\times 10^{11} J ;

Ici, il faut faire attention aux signes.

En effet, Q_{eau} est l'énergie thermique reçue par l'eau en une journée, elle est donc positive. La grandeur qui intervient dans le bilan ici est l'opposée de Q_{eau} car c'est l'énergie thermique fournie par la machine à l'eau.
De plus, Q_{air} est l'énergie thermique fournie par l'air en une journée, elle est donc négative. La grandeur qui intervient dans le bilan ici est l'opposée de Q_{air} car c'est l'énergie thermique reçue par la machine de la part de l'air, c'est une grandeur positive. Dans l'énoncé, Q_{air} est positive donc on prendra cette grandeur comme l'énergie thermique reçue par la machine en une journée de la part de l'air.

Or, d'après l'énoncé, la machine ne fait que convertir, elle ne perd pas d'énergie donc :

\Delta E =0

On en déduit ainsi que :

W-Q_{eau}+Q_{air}=0

Donc :

Q_{eau}=W+Q_{air}

( Q_{eau} a une valeur positive c'est donc conforme à ce qu'on a déduit précédemment)

Quel est, alors, le calcul correct de l'énergie transférée à l'eau ?

Q_{eau} = W + Q_{air} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5}{ 3{,}6 \times 10^6 }+ 5{,}2 \times 10^{11}= 5{,}2 \times 10^{11} J

Q_{eau} = W + Q_{air} = 1{,}0 \times 10^5 + 5{,}2 \times 10^{11}= 5{,}2 \times 10^{11} J

Q_{eau} = W + Q_{air} = 1{,}0 \times 10^5 \times 3{,}6 \times 10^6 + 5{,}2 \times 10^{11}= 8{,}8 \times 10^{11} J

Q_{eau} = W - Q_{air} = 1{,}0 \times 10^5 \times 3{,}6 \times 10^6 - 5{,}2 \times 10^{11}=-1{,}6 \times 10^{11} J

On a donc :

Q_{eau} = W + Q_{air}

Q_{eau} = 1{,}0 \times 10^5 \times 3{,}6 \times 10^6 + 5{,}2 \times 10^{11}

Q_{eau} = 8{,}8 \times 10^{11} J

Pendant les 6 mois de fonctionnement du chauffage des logements et bureaux, le débit de l'eau est 2 \times 10^2 m³.h^-1.

Quel est le volume d'eau qui reçoit cette énergie thermique, en une journée ?

V_{eau} = D \times \Delta t = 2{,}0 \times 10^2 \times 24 \times60 \times60= 1{,}7 \times 10^7 m³

V_{eau} = D \times \Delta t = 2{,}0 \times 10^2 \times 24 = 4{,}8 \times 10^3 m³

V_{eau} =\dfrac{ D }{ \Delta t} = \dfrac{2{,}0 \times 10^2}{24} =8{,}3 m³

V_{eau} = D \times \Delta t = 2{,}0 \times 10^2 \times 24\times 6 \times30 = 8{,}6 \times 10^5 m³

Le volume d'eau chauffé est :

V_{eau} = D \times \Delta t

V_{eau} = 2{,}0 \times 10^2 \times 24

V_{eau} = 4{,}8 \times 10^3 m³

Quelle est la masse d'eau correspondante, en kilogrammes (kg) ?

Donnée : la masse volumique de l'eau \rho_{eau} = 1{,}0 \times 10^3 kg.m^-3

m_{eau} = \rho_{eau} + V_{eau} = 1{,}0 \times 10^3 +4{,}8 \times 10^3 = 5{,}8 \times 10^3 kg

m_{eau} =\dfrac{ \rho_{eau}}{V_{eau}} =\dfrac{ 1{,}0 \times 10^3}{ 4{,}8 \times 10^3} = 2{,}1 \times 10^{-1} kg

m_{eau} =\dfrac{V_{eau}}{ \rho_{eau} }=\dfrac {4{,}8 \times 10^3}{1{,}0 \times 10^3 } = 4{,}8 \times 10^3 kg

m_{eau} = \rho_{eau} \times V_{eau} = 1{,}0 \times 10^3 \times 4{,}8 \times 10^3 = 4{,}8 \times 10^6 kg

La masse d'eau correspondante est :

m_{eau} = \rho_{eau} \times V_{eau}

m_{eau} = 1{,}0 \times 10^3 \times 4{,}8 \times 10^3

m_{eau} = 4{,}8 \times 10^6 kg

La température moyenne de l'eau qui entre dans la machine thermique est 10°C.

Quelle est la température atteinte par la masse d'eau circulant en une journée ?

Donnée : la capacité calorifique de l'eau c_{eau} = 4\ 185 J.kg^-1.°C^-1

T_f = T_i + \dfrac{Q_{eau}}{ c_{eau}} = 10 + \dfrac{8{,}8 \times 10^{11}}{4\ 185} = 2{,}1\times 10^8 °C

T_f = T_i + \dfrac{Q_{eau}}{m_{eau} \times c_{eau}} = 10 + \dfrac{8{,}8 \times 10^{11}}{4{,}8 \times 10^6 \times 4\ 185} = 54 °C

T_f = \dfrac{Q_{eau}}{m_{eau} \times c_{eau}} = \dfrac{8{,}8 \times 10^{11}}{4{,}8 \times 10^6 \times 4\ 185} = 44 °C

T_f = T_i + \dfrac{Q_{eau}}{m_{eau} \times c_{eau}} = 283+ \dfrac{8{,}8 \times 10^{11}}{4{,}8 \times 10^6 \times 4\ 185} = 327 °C

On suppose également que toute l'énergie thermique reçue permet à l'eau d'augmenter en température, donc :

Q_{eau}=m_{eau} \times c_{eau}\times \Delta T =m_{eau} \times c_{eau}\times \left(T_f - T_i\right)

Avec :

c_eau la capacité thermique de l'eau
\Delta T =T_{final}- T_{initial}, T_{final} étant la grandeur que l'on cherche et T_{initial} = 10 °C

On isole la température finale :

T_f = T_i + \dfrac{Q_{eau}}{m_{eau} \times c_{eau}}

T_f = = 10 + \dfrac{8{,}8 \times 10^{11}}{4{,}8 \times 10^6 \times 4\ 185}

T_f = 54 °C

En déduire le mode de chauffage à envisager pour chauffer les logements voisins.

Données :

Mode de chauffage	Radiateur	Plancher chauffant
Température de l'eau	50°C à 65°C	25°C à 30°C

La température de l'eau étant comprise entre 50°C et 65°C, les deux modes de chauffages peuvent être envisagés car la température de l'eau est suffisamment élevée.

Aucun des deux modes de chauffage ne permet de refroidir l'eau à 10°C donc aucun des deux ne peut être utilisé bien que la température de l'eau chauffée par la machine étant comprise entre 50°C et 65°C, on aurait peut être pu envisager l'utilisation du radiateur.

La température de l'eau étant comprise entre 50°C et 65°C, il vaut mieux utiliser le plancher chauffant pour exploiter au maximum ses capacités de chauffage.

La température de l'eau étant comprise entre 50°C et 65°C, il vaut mieux envisager le radiateur pour ne pas utiliser le plancher chauffant avec une température trop importante.