Calculer une durée mesurée à partir d'une durée propreMéthode

La durée propre et la durée mesurée sont liées par une relation. On calcule donc la durée mesurée entre deux événements à partir de la durée propre dans le référentiel immobile.

Un astronaute s'éloigne de la Terre avec une vitesse constante v=0{,}9\times c. La durée de voyage pour l'astronaute est de 4,0 ans. Déterminer la durée du voyage pour un observateur resté sur Terre.

Etape 1

Donner la formule liant la durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t

On donne la formule, liant la durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t :

\Delta t = \gamma \times \Delta \tau_p

Avec \gamma le coefficient de Lorentz.

La durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t sont liées par la formule suivante :

\Delta t = \gamma \times \Delta \tau_p

Etape 2

Donner l'expression du coefficient de Lorentz

On donne l'expression du coefficient de Lorentz \gamma :

\gamma =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}

v est la vitesse du système dans le référentiel de mesure et c est la vitesse de la lumière (qui vaut 3{,}00.10^{8} m.s−1).

On peut alors modifier l'expression de la durée mesurée.

On a :

\gamma =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}

v est la vitesse de l'astronaute et c est la vitesse de la lumière.

Ainsi :

\Delta t =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \times \Delta \tau_p

Etape 3

Relever la valeur de la durée propre \Delta \tau_p

On relève la valeur de la durée propre \Delta \tau_p.

La durée propre est donnée dans l'énoncé :

\Delta \tau_p=4{,}0 ans

Etape 4

Relever la valeur de la vitesse v du système dans le référentiel de mesure

On relève la valeur de la vitesse v du système dans le référentiel de mesure.

La vitesse est donnée dans l'énoncé :

v=0{,}9\times c

Avec c la célérité de la lumière.

Etape 5

Exprimer les paramètres dans les unités demandées

Les paramètres sont la durée propre et la vitesse du système. On vérifie que :

  • La durée propre soit exprimée en secondes
  • La vitesse du système soit exprimée en mètres par seconde

Aucune unité n'est imposée pour les durées, et la durée donnée dans l'énoncé est en années. Le résultat sera donc obtenu en années.

Etape 6

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique afin de calculer la durée mesurée.

On effectue l'application numérique :

\Delta t =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{\left(0{,}9c\right)^2}{c^2}}} \times4{,}0

\Delta t =9{,}1766 ans

Etape 7

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

Le résultat doit être écrit avec deux chiffres significatifs :

\Delta t =9{,}2 ans

Questions fréquentes

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